até formar uma base de todas as matrizes simétricas 2\times2. O espaço \mathcal S das matrizes simétricas 2\times2 tem dimensão 3, pois toda matriz simétrica pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}
com (a,b,c)\in\mathbb R^3. Já temos duas matrizes independentes, então precisamos de mais uma.
Passo 2
Para estender a base, basta escolher uma matriz simétrica que não seja combinação linear das já dadas. Uma escolha natural é
A_3 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},
pois ela mexe de forma independente com os elementos a e c.
Passo 3
Agora verificamos que \,I = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \,P = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}
e \,A_3 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}
são linearmente independentes. De fato, se existirem \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha I + \beta P + \gamma A_3 = 0,
então olhando as entradas
na posição (1,1): \alpha + \gamma = 0,
na posição (2,2): \alpha - \gamma = 0,
na posição (1,2) ou (2,1): \beta = 0.
Das duas primeiras equações vem \gamma = 0 e \alpha = 0, e da última \beta=0. Logo só há a combinação trivial.
Passo 4
Como o conjunto agora tem 3 vetores (igual à dimensão de \mathcal S) e são independentes, ele forma uma base.