Estima-se que, daqui a t anos, a população P de uma cidade estará variando à taxa de
t \ln \sqrt{t+1}
milhares de habitantes por ano. Se a população atual é de 2 milhões de habitantes, encontre:
A população daqui a 5 anos.
P(5)=

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da população daqui a t anos como
t\ln\sqrt{t+1}
medida em milhares de habitantes por ano. A população atual (ou seja, em t=0) é de 2 milhões de habitantes. A pergunta é: qual será a população da cidade daqui a 5 anos, ou seja, calcule P(5). Informações relevantes listadas:
  • Taxa de variação: \dfrac{dP}{dt}=t\ln\sqrt{t+1} (em milhares/ano).
  • População atual: P(0)=2 milhões =2000 milhares.
  • Queremos P(5).

Passo 2

O que precisamos fazer (não vou resolver ainda, só explico o objetivo): a taxa de variação \dfrac{dP}{dt} é a derivada da população. Para obter a mudança total de P entre t=0 e t=5 devemos integrar essa taxa no intervalo [0,5] e somar ao valor inicial P(0). Em fórmula:
P(5)=P(0)+\int_{0}^{5}\dfrac{dP}{dt}\,dt.
Aqui cada passo de integração representa a soma acumulada (área sob a curva da taxa) — uma interpretação física simples: taxa × tempo acumulado gera variação total.

Passo 3

Substituímos os dados dados no passo anterior. Primeiro simplificamos a expressão da taxa:
\ln\sqrt{t+1}=\ln\bigl((t+1)^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln(t+1).
Logo
\dfrac{dP}{dt}=t\ln\sqrt{t+1}=\tfrac{1}{2}\,t\ln(t+1).
Como P(0)=2000 (em milhares), temos
P(5)=2000+\int_{0}^{5}\tfrac{1}{2}\,t\ln(t+1)\,dt=\;2000+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{5}t\ln(t+1)\,dt.
Agora vamos calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{5}t\ln(t+1)\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int t\ln(t+1)\,dt usamos integração por partes. Regra (mini-aula): integração por partes é a versão integral da regra do produto; se escolhemos u e dv com du e v correspondentes, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos de forma prática:
u=\ln(t+1)\quad\Rightarrow\quad du=\dfrac{1}{t+1}\,dt,
dv=t\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{t^{2}}{2}.
Aplicando:
\int t\ln(t+1)\,dt = \dfrac{t^{2}}{2}\ln(t+1) - \int \dfrac{t^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{t+1}\,dt.
Ou seja,
\int t\ln(t+1)\,dt = \dfrac{t^{2}}{2}\ln(t+1) - \dfrac{1}{2}\int \dfrac{t^{2}}{t+1}\,dt.

Passo 5

Agora simplificamos \dfrac{t^{2}}{t+1} com divisão polinomial (mini-aula): podemos escrever
\dfrac{t^{2}}{t+1}=t-1+\dfrac{1}{t+1},
pois (t-1)(t+1)=t^{2}-1 e sobraria +1 no numerador para completar t^{2}. Assim
\int \dfrac{t^{2}}{t+1}\,dt = \int\bigl(t-1+\dfrac{1}{t+1}\bigr)\,dt = \dfrac{t^{2}}{2}-t+\ln(t+1)+C.
Substituindo de volta, uma primitiva de t\ln(t+1) é
G(t)=\dfrac{t^{2}}{2}\ln(t+1)-\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{t^{2}}{2}-t+\ln(t+1)\Bigr)+C.
Desenvolvendo os termos:
G(t)=\dfrac{t^{2}}{2}\ln(t+1)-\dfrac{1}{4}t^{2}+\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{2}\ln(t+1)+C.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida. Lembrando que precisamos de \tfrac{1}{2}\int_{0}^{5}t\ln(t+1)\,dt=\tfrac{1}{2}\bigl(G(5)-G(0)\bigr).
Calculamos G(5):
G(5)=\dfrac{25}{2}\ln 6 -\dfrac{1}{4}\cdot 25 + \dfrac{1}{2}\cdot 5 -\dfrac{1}{2}\ln 6.
Agrupando os termos com \ln 6:
\dfrac{25}{2}\ln 6 -\dfrac{1}{2}\ln 6 = \Bigl(\dfrac{25}{2}-\dfrac{1}{2}\Bigr)\ln 6 =12\ln 6.
Os outros termos são
-\dfrac{25}{4}+\dfrac{5}{2} = -\dfrac{25}{4}+\dfrac{10}{4}=-\dfrac{15}{4}.
Portanto
G(5)=12\ln 6 - \dfrac{15}{4}.
Como \ln 1=0, G(0)=0. Logo
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{5}t\ln(t+1)\,dt=\tfrac{1}{2}\bigl(12\ln 6 - \tfrac{15}{4}\bigr)=6\ln 6 - \tfrac{15}{8}.
Esse valor está em milhares de habitantes (porque a taxa estava em milhares/ano).

Passo 7

Somamos ao valor inicial P(0)=2000 (milhares):
P(5)=2000 + 6\ln 6 - \tfrac{15}{8}\quad\text{(milhares de habitantes).}
Se quisermos em número de habitantes, multiplicamos por 1000. Em aproximação numérica, usando \ln 6\approx 1,791759, obtemos cerca de 2\,008\,876 habitantes (arredondado ao indivíduo mais próximo). Boa notícia: cresceu pouco — dá para respirar!

Resposta

P(5)=2000 + 6\ln 6 - \dfrac{15}{8} milhares de habitantes \approx 2\,008\,876 habitantes

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