Estima-se que, daqui a
anos, a população
de uma cidade estará variando à taxa de
milhares de habitantes por ano. Se a população atual é de 2 milhões de habitantes, encontre:
A população daqui a 5 anos.
A população daqui a 5 anos.
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação da população daqui a
anos como
medida em milhares de habitantes por ano. A população atual (ou seja, em
) é de
milhões de habitantes. A pergunta é: qual será a população da cidade daqui a
anos, ou seja, calcule
. Informações relevantes listadas:
- Taxa de variação:
(em milhares/ano). - População atual:
milhões milhares. - Queremos
.
Passo 2
O que precisamos fazer (não vou resolver ainda, só explico o objetivo): a taxa de variação
é a derivada da população. Para obter a mudança total de
entre
e
devemos integrar essa taxa no intervalo
e somar ao valor inicial
. Em fórmula:
Aqui cada passo de integração representa a soma acumulada (área sob a curva da taxa) — uma interpretação física simples: taxa × tempo acumulado gera variação total.
Passo 3
Substituímos os dados dados no passo anterior. Primeiro simplificamos a expressão da taxa:
Logo
Como
(em milhares), temos
Agora vamos calcular a integral definida
.
Passo 4
Para integrar
usamos integração por partes. Regra (mini-aula): integração por partes é a versão integral da regra do produto; se escolhemos
e
com
e
correspondentes, então
Escolhemos de forma prática:
Aplicando:
Ou seja,
Passo 5
Agora simplificamos
com divisão polinomial (mini-aula): podemos escrever
pois
e sobraria
no numerador para completar
. Assim
Substituindo de volta, uma primitiva de
é
Desenvolvendo os termos:
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida. Lembrando que precisamos de
.
Calculamos :
Calculamos
Agrupando os termos com
:
Os outros termos são
Portanto
Como
,
. Logo
Esse valor está em milhares de habitantes (porque a taxa estava em milhares/ano).
Passo 7
Somamos ao valor inicial
(milhares):
Se quisermos em número de habitantes, multiplicamos por
. Em aproximação numérica, usando
, obtemos cerca de
habitantes (arredondado ao indivíduo mais próximo). Boa notícia: cresceu pouco — dá para respirar!