Questão 8
Estima-se que, daqui a t anos, a população P de uma cidade estará variando à taxa de
t \ln \sqrt{t+1}
milhares de habitantes por ano. Se a população atual é de 2 milhões de habitantes, encontre:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação 1: a taxa de variação da população daqui a t anos é
t \ln \sqrt{t+1}
milhares de habitantes por ano. (Ou seja, é dada a derivada da população em função de t.)
  • Informação 2: a população atual (isto é, em t=0) é de 2 milhões de habitantes.
Pergunta que vamos resolver (implícita no enunciado): encontre a função população P(t) (a população depois de t anos), usando as informações dadas, e expresse a resposta de forma clara (tanto em milhares quanto em milhões de habitantes).

Passo 2

Entendendo unidades e escrevendo a equação diferencial.
  • A taxa dada é a variação da população por unidade de tempo, portanto podemos interpretar
P'(t)=t\ln\sqrt{t+1}
onde P'(t) está em milhares de habitantes por ano.
  • A população atual P(0) é 2 milhões. Como a taxa está em milhares, convertemos a população para milhares:
2\\ \text{milhões}=2000\\ \text{milhares},õ
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P(0)=2000.
Objetivo agora: encontrar P(t) integrando P'(t). Antes de integrar, simplificamos a expressão do lado direito.

Passo 3

Simplificar o integrando usando propriedades dos logaritmos.
Temos
\ln\sqrt{t+1}=\ln (t+1)^{1/2}=\tfrac{1}{2}\ln(t+1).
Portanto
P'(t)=t\ln\sqrt{t+1}=\tfrac{1}{2}\,t\ln(t+1).
Então precisamos calcular a integral
\int_0^t \tfrac{1}{2}\,s\ln(s+1)\,ds,
pois a solução geral com condição inicial é
P(t)=P(0)+\int_0^t P'(s)\,ds = 2000 + \int_0^t \tfrac{1}{2}\,s\ln(s+1)\,ds.

Passo 4

Explicando e aplicando integração por partes (fórmula e escolha das funções).
Fórmula de integração por partes: para funções u(s) e v(s),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos para a integral
\int s\ln(s+1)\,ds
as partes:
u=\ln(s+1)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{s+1}\,ds,
dv=s\,ds\quad\Rightarrow\quad v=\frac{s^2}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int s\ln(s+1)\,ds = \frac{s^2}{2}\ln(s+1) - \int \frac{s^2}{2}\cdot\frac{1}{s+1}\,ds.
Lembre que nossa integral original tem o fator \tfrac{1}{2}, então vamos inserir isso depois.

Passo 5

Integrar o termo racional \displaystyle\int\frac{s^2}{s+1}\,ds por divisão polinomial.
Fazemos divisão:
\frac{s^2}{s+1}=s-1+\frac{1}{s+1}.
(Verificação rápida: (s+1)(s-1)=s^2-1, então sobra +1 no numerador, dando o resto \tfrac{1}{s+1}.)
Então
\int \frac{s^2}{s+1}\,ds = \int (s-1)\,ds + \int \frac{1}{s+1}\,ds = \frac{s^2}{2}-s+\ln(s+1).

Passo 6

Voltar à integral original e montar a primitiva completa.
Do Passo 4 tínhamos
\int s\ln(s+1)\,ds = \frac{s^2}{2}\ln(s+1) - \frac{1}{2}\int\frac{s^2}{s+1}\,ds.
Substituindo o resultado do Passo 5:
\int s\ln(s+1)\,ds = \frac{s^2}{2}\ln(s+1) - \frac{1}{2}\left(\frac{s^2}{2}-s+\ln(s+1)\right).
Distribuindo os fatores:
\int s\ln(s+1)\,ds = \frac{s^2}{2}\ln(s+1) - \frac{s^2}{4} + \frac{s}{2} - \frac{1}{2}\ln(s+1) + C.
Lembrando o fator \tfrac{1}{2} que tínhamos na integral original, a primitiva de \tfrac{1}{2}s\ln(s+1) é
F(s)=\frac{s^2}{4}\ln(s+1) - \frac{1}{8}s^2 + \frac{1}{4}s - \frac{1}{4}\ln(s+1) + C.

Passo 7

Calcular a integral definida de 0 a t e obter P(t).
Como F(0)=0 (pois \ln(1)=0 e os termos com s anulam-se), a integral definida é simplesmente F(t)-F(0)=F(t). Assim
\int_0^t \tfrac{1}{2}s\ln(s+1)\,ds = \frac{t^2}{4}\ln(t+1) - \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{4}t - \frac{1}{4}\ln(t+1).
Portanto, lembrando que P(0)=2000 (em milhares),
P(t)=2000 + \frac{t^2}{4}\ln(t+1) - \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{4}t - \frac{1}{4}\ln(t+1),
onde P(t) está em milhares de habitantes.

Passo 8

Interpretações finais, verificação rápida e conversão de unidades.
  • Verificação rápida: para t=0 obtemos P(0)=2000, que corresponde aos 2000 milhares iniciais (ou 2 milhões) — ótimo, a condição inicial está satisfeita.
  • Se preferir a população em milhões de habitantes, basta dividir por 1000. Assim
P_{\text{(milhões)}}(t)=2+\frac{1}{1000}\Bigg(\frac{t^2}{4}\ln(t+1)-\frac{1}{8}t^2+\frac{1}{4}t-\frac{1}{4}\ln(t+1)\Bigg).õ

Resposta

P(t)=2000+\dfrac{t^2}{4}\ln(t+1)-\dfrac{1}{8}t^2+\dfrac{1}{4}t-\dfrac{1}{4}\ln(t+1) (população em milhares)
P_{\text{(milhões)}}(t)=2+\dfrac{1}{1000}\Bigg(\dfrac{t^2}{4}\ln(t+1)-\dfrac{1}{8}t^2+\dfrac{1}{4}t-\dfrac{1}{4}\ln(t+1)\Bigg)õ (população em milhões)

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