Questão 8
Estima-se que, daqui a
anos, a população
de uma cidade estará variando à taxa de
milhares de habitantes por ano. Se a população atual é de 2 milhões de habitantes, encontre:
Estima-se que, daqui a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação 1: a taxa de variação da população daqui a
anos é
milhares de habitantes por ano. (Ou seja, é dada a derivada da população em função de
.)
- Informação 2: a população atual (isto é, em
) é de milhões de habitantes.
Pergunta que vamos resolver (implícita no enunciado): encontre a função população
(a população depois de
anos), usando as informações dadas, e expresse a resposta de forma clara (tanto em milhares quanto em milhões de habitantes).
Passo 2
Entendendo unidades e escrevendo a equação diferencial.
- A taxa dada é a variação da população por unidade de tempo, portanto podemos interpretar
onde
está em milhares de habitantes por ano.
- A população atual
é milhões. Como a taxa está em milhares, convertemos a população para milhares:
logo
Objetivo agora: encontrar
integrando
. Antes de integrar, simplificamos a expressão do lado direito.
Passo 3
Simplificar o integrando usando propriedades dos logaritmos.
Temos
Portanto
Então precisamos calcular a integral
pois a solução geral com condição inicial é
Passo 4
Explicando e aplicando integração por partes (fórmula e escolha das funções).
Fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Aqui escolhemos para a integral
as partes:
Aplicando a fórmula:
Lembre que nossa integral original tem o fator
, então vamos inserir isso depois.
Passo 5
Integrar o termo racional
por divisão polinomial.
Fazemos divisão:
(Verificação rápida:
, então sobra
no numerador, dando o resto
.)
Então
Passo 6
Voltar à integral original e montar a primitiva completa.
Do Passo 4 tínhamos
Substituindo o resultado do Passo 5:
Distribuindo os fatores:
Lembrando o fator
que tínhamos na integral original, a primitiva de
é
Passo 7
Calcular a integral definida de
a
e obter
.
Como
(pois
e os termos com
anulam-se), a integral definida é simplesmente
. Assim
Portanto, lembrando que
(em milhares),
onde
está em milhares de habitantes.
Passo 8
Interpretações finais, verificação rápida e conversão de unidades.
- Verificação rápida: para
obtemos , que corresponde aos milhares iniciais (ou milhões) — ótimo, a condição inicial está satisfeita. - Se preferir a população em milhões de habitantes, basta dividir por
. Assim