Estimate the maximum distance at which a binary star system could be resolvable by the human eye. Assume the two stars are about fifty times farther apart than Earth and the Sun are. Neglect any atmospheric effects. (A test similar to this “eye test” was used in ancient Rome to test for eyesight acuity before entering
the army. A person who had normal eyesight could just barely resolve two well-known stars that appear close in the sky. Anyone who could not tell there were two stars failed the test.) ssm
the army. A person who had normal eyesight could just barely resolve two well-known stars that appear close in the sky. Anyone who could not tell there were two stars failed the test.) ssm
Passo 1
O problema pede para estimar a distância máxima
a que um observador humano conseguiria resolver (isto é, distinguir como dois objetos separados) os dois componentes de um sistema binário de estrelas. Informações dadas e o que é pedido:
- Os dois astros estão separados por uma distância física igual a cinquenta vezes a distância Terra–Sol. Pegaremos isso como
. - Ignorar efeitos atmosféricos.
- Pedir
: a maior distância a que a separação angular entre as duas estrelas ainda é maior ou igual à resolução angular do olho humano, de modo que o observador possa ver duas estrelas distintas.
Passo 2
Conceito que vamos usar: para ângulos pequenos vale a aproximação angular
onde:
-
é a separação angular entre as duas estrelas, em radianos; -
é a separação física entre elas (m); -
é a distância do observador ao sistema binário (m).
Do enunciado queremos a maiortal que seja pelo menos a resolução angular mínima do olho humano, que chamaremos de . Assim
Antes de calcular precisamos escolher um valor razoável para
. Uma regra prática usada frequentemente é que um observador com acuidade normal distingue dois pontos separados por cerca de
(um minuto de arco). Vamos adotar
(Depois faremos um comentário alternativo usando o limite de difração do olho.)
Passo 3
Converter a separação física
dada em unidades usáveis. Sabendo que
,
Expliquei: multiplicar a distância média Terra–Sol por
dá
em metros.
Passo 4
Converter a resolução angular
para radianos. Como
rad,
Expliquei: passo a passo, primeiro dividir um grau em sessenta minutos, depois converter graus para radianos usando
.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da geometria de pequena-ângulo:
Agora converto esse valor para unidades astronômicas mais familiares. Um ano-luz vale aproximadamente
e um parsec vale
. Assim
Interpretação rápida: com resolução de
esse par de estrelas com separação
seria separável até cerca de
anos-luz — ou seja, um pouco menos que a distância até as estrelas mais próximas (Proxima Centauri está a
).
Passo 6
Breve comentário sobre hipóteses e precisão da estimativa (importante para a prova):
- Adotamos
como valor prático ligado à acuidade visual humana (fatores neurais, iluminação, contraste e tamanho aparente influenciam muito). Em condições ótimas e com pupila bem dilatada, o limite físico imposto pela difração do olho (critério de Rayleigh) pode ser um pouco menor (melhor) do que . - Se quisermos usar o limite de difração, aplicamos a fórmula de Rayleigh:
onde
é o comprimento de onda (usar
para luz verde) e
é o diâmetro da pupila (usar
). Então
o que corresponde a cerca de
segundos de arco (
), ou
. Se usássemos esse
como limite, obteríamos
Porém, na prática o sistema visual (retina + cérebro) e condições observacionais normalmente limitam a acuidade a algo próximo de
, portanto a estimativa anterior (
) é mais realista para o “teste do olho” mencionado no enunciado.