Two coherent microwave sources both produce waves that each have a wavelength equal to 1.50 cm . The sources are located in the z=0 plane, one at x=0, y=15.0 \mathrm{~cm} and the other at x=3.00 \mathrm{~cm}, y=14.0 \mathrm{~cm}. If the sources are in phase, find the difference in phase between the two waves for a receiver located at the origin. { }^{\mathrm{ssm}}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a diferença de fase entre as ondas no ponto receptor (origem):
  • Comprimento de onda: \lambda = 1{,}50\\ \text{cm}.
  • Posição da fonte 1: (x_1,y_1,z_1) = (0,\;15{,}0\\ \text{cm},\;0).
  • Posição da fonte 2: (x_2,y_2,z_2) = (3{,}00\\ \text{cm},\;14{,}0\\ \text{cm},\;0).
  • Receptor no ponto origem: (0,0,0).
  • As duas fontes estão em fase na origem das ondas (mesma fase inicial).
    Pergunta: qual é a diferença de fase entre as duas ondas no receptor (no instante considerado)?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • A fase de uma onda plana esférica emitida por uma fonte em um ponto a distância r da fonte é, para um dado instante, proporcional a r. Mais precisamente, se a fase inicial na fonte é a mesma para ambas, a diferença de fase no receptor entre duas ondas é dada por
\Delta\varphi = k\,(r_2 - r_1),
onde:
  • \Delta\varphi é a fase da onda 2 menos a da onda 1 no receptor (em radianos);
  • r_1 e r_2 são as distâncias do receptor até as fontes 1 e 2, respectivamente;
  • k é o número de onda, definido por
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
  • Interpretação física do sinal: se \Delta\varphi for negativo, a onda 2 tem menor fase no receptor do que a onda 1 (isto é, acumulou menos fase por ter caminho mais curto); se for positivo, a onda 2 tem maior fase.

Passo 3

Converter todas as distâncias para metros (para consistência) e calcular r_1 e r_2 usando a fórmula da distância euclidiana (teorema de Pitágoras no plano z=0):
  • \lambda = 1{,}50\\ \text{cm} = 0{,}0150\\ \text{m}.
  • Coordenadas em metros:
    • Fonte 1: (0,\;0{,}15\\ \text{m},\;0).
    • Fonte 2: (0{,}03\\ \text{m},\;0{,}14\\ \text{m},\;0).
    • Receptor: (0,0,0).
  • Distância da fonte 1 ao receptor:
r_1 = \sqrt{0^2 + (0{,}15)^2} = 0{,}15\\ \text{m}.
  • Distância da fonte 2 ao receptor:
r_2 = \sqrt{(0{,}03)^2 + (0{,}14)^2} = \sqrt{0{,}0009 + 0{,}0196} = \sqrt{0{,}0205} \approx 0{,}143178\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a diferença de caminhos \Delta r = r_2 - r_1:
\Delta r = 0{,}143178\\ \text{m} - 0{,}150000\\ \text{m} = -0{,}0068218\\ \text{m} \quad(\text{aprox.}).
O sinal negativo indica que o caminho da fonte 2 é mais curto que o da fonte 1.

Passo 5

Calcular o número de onda k:
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}0150\\ \text{m}} \approx 418{,}879\\ \text{rad/m}.
Explanação: k diz quantos radianos de fase são acumulados por metro percorrido; como uma volta completa de fase corresponde a 2\pi radianos e isso ocorre a cada \lambda metros, temos k=2\pi/\lambda.

Passo 6

Calcular a diferença de fase \Delta\varphi = k\,\Delta r:
\Delta\varphi = 418{,}879\\ \text{rad/m}\times(-0{,}0068218\\ \text{m}) \approx -2{,}857\\ \text{rad}.
Arredondando de forma consistente com os dados (3 algarismos significativos):
\Delta\varphi \approx -2{,}86\\ \text{rad}.

Passo 7

Converter para graus para uma interpretação alternativa (opcional):
-2{,}857\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx -163{,}7^\circ \approx -164^\circ.
Significado físico: a fase proveniente da fonte 2 é menor que a da fonte 1 em cerca de 2{,}86 rad (ou 164^\circ); alternativamente, acrescentando 2\pi se quiser um ângulo positivo equivalente, \Delta\phi_{\text{equiv}} \approx 3{,}426\\ \text{rad} (≈ 196{,}3^\circ).

Resposta

\Delta\varphi \approx -2{,}86\\ \text{rad} \approx -163{,}7^\circ

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