Estime \sqrt{\pi} das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
através de uma aproximação linear em torno de x=3

Passo 1

O enunciado pede que eu estime \sqrt{\pi} usando uma aproximação linear em torno de x=3 e que eu calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa estimativa. As informações relevantes são:
  • Quero aproximar \sqrt{\pi}.
  • Vou usar a aproximação linear (linearização) de alguma função f em torno de um ponto a=3.
  • Vou precisar de um valor numérico de \pi; aqui uso \pi\approx 3,141592653589793.
  • No final preciso dos erros: erro absoluto |\text{aprox} - \text{valor verdadeiro}| e erro relativo \dfrac{|\text{erro absoluto}|}{\text{valor verdadeiro}}.

Passo 2

Escolher a função e escrever a fórmula da aproximação linear.
  • Defino a função a ser linearizada como f(x)=\sqrt{x}.
    Explicando: f(x) é a função cuja raiz quadrada queremos avaliar em x=\pi.
  • A aproximação linear (fórmula de linearização) de f em torno de a é
f(x)\approx f(a)+f'(a)\,(x-a),
onde:
  • a é o ponto em torno do qual aproximamos (aqui a=3);
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a;
  • x é o ponto onde queremos estimar (aqui x=\pi);
  • h=x-a é o deslocamento pequeno a partir de a.
Esta fórmula vem da expansão em série de Taylor truncada na primeira ordem: o termo constante mais o termo linear em (x-a).

Passo 3

Calcular f(a) e f'(x) explicitamente e avaliá-los em a=3.
  • f(x)=\sqrt{x}. Então
f(a)=\sqrt{3}.
Vou usar o valor numérico conhecido
\sqrt{3}\approx 1,7320508075688772.
  • Derivada: para f(x)=x^{1/2} temos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: a derivada dá a inclinação da reta tangente em cada ponto; aqui ela nos diz quanto muda \sqrt{x} se x muda um pouco.
  • Avaliando em x=3:
f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,2886751345948129.

Passo 4

Calcular o deslocamento h=x-a=\pi-3 e aplicar a fórmula da linearização.
  • Calculo
h=\pi-3\approx 3,141592653589793-3=0,14159265358979312.
  • Pela fórmula da linearização:
\sqrt{\pi}=f(\pi)\approx f(3)+f'(3)\,(\pi-3).

Passo 5

Multiplicar e obter a aproximação numérica.
  • Calculo o incremento linear:
f'(3)\,(\pi-3)\approx 0,2886751345948129\times 0,14159265358979312\approx 0,04087417771263882.
(Produto feito com precisão suficiente para prova; é o termo linear que corrige \sqrt{3} até \sqrt{\pi}.)
  • Portanto a aproximação é
\sqrt{\pi}\approx \sqrt{3}+0,04087417771263882\approx 1,7320508075688772+0,04087417771263882.
  • Resultado:
\sqrt{\pi}\approx 1,7729249852815160.

Passo 6

Determinar o valor verdadeiro (usado para calcular erro) e calcular o erro absoluto.
  • Valor verdadeiro (conhecido numericamente) é
\sqrt{\pi}\approx 1,7724538509055160.
  • Erro absoluto:
\text{erro absoluto}=\bigl|\text{aprox}-\text{verdadeiro}\bigr| =\bigl|1,7729249852815160-1,7724538509055160\bigr| \approx 0,0004711343760000.

Passo 7

Calcular o erro relativo e dar interpretação.
  • Erro relativo (razão do erro absoluto pelo valor verdadeiro):
\text{erro relativo}=\frac{\text{erro absoluto}}{\text{valor verdadeiro}} \approx \frac{0,0004711343760000}{1,7724538509055160}\approx 0,000265958\ldots
Em percentual isso é cerca de 0{,}0266\%.
Interpretação rápida: a aproximação linear em volta de x=3 dá uma estimativa com erro na ordem de 4{,}7\times 10^{-4}, ou seja, muito pequena para muitas aplicações; o erro relativo é cerca de 2{,}66\times10^{-4}.

Passo 8

(Bônus didático — estimativa do limite do erro pela fórmula do resto de Taylor de segunda ordem)
  • A segunda derivada de f é
f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}.
  • Num intervalo entre x=3 e x=\pi o módulo |f''(x)| é máximo em x=3. Tomando
M=\max_{x\in[3,\pi]}|f''(x)|=\frac{1}{4\cdot 3^{3/2}}\approx 0,048077.
  • O resto de Taylor (termo de ordem 2) em módulo satisfaz
|R_2|\le \frac{M}{2}|x-a|^2=\frac{M}{2}(\pi-3)^2.
  • Calculando o limite:
|R_2|\lesssim \frac{0,048077}{2}\times(0,14159265)^2\approx 0,0004824,
que é um limite superior consistente com o erro real 0,0004711. Isso mostra que a estimativa do erro pela linearização é confiável e que o erro real está dentro da ordem prevista.

Resposta

\sqrt{\pi}\approx 1,7729249852815160
\text{erro absoluto}\approx 0,0004711343760000
\text{erro relativo}\approx 0,000265958\\ (\approx 0{,}0266\%)

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