Estime \sqrt{\pi} das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
através de uma aproximação linear em torno de x=3
Passo 1
O enunciado pede que eu estime \sqrt{\pi} usando uma aproximação linear em torno de x=3 e que eu calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa estimativa. As informações relevantes são:
Quero aproximar \sqrt{\pi}.
Vou usar a aproximação linear (linearização) de alguma função f em torno de um ponto a=3.
Vou precisar de um valor numérico de \pi; aqui uso \pi\approx 3,141592653589793.
No final preciso dos erros: erro absoluto |\text{aprox} - \text{valor verdadeiro}| e erro relativo \dfrac{|\text{erro absoluto}|}{\text{valor verdadeiro}}.
Passo 2
Escolher a função e escrever a fórmula da aproximação linear.
Defino a função a ser linearizada como f(x)=\sqrt{x}.
Explicando: f(x) é a função cuja raiz quadrada queremos avaliar em x=\pi.
A aproximação linear (fórmula de linearização) de f em torno de a é
f(x)\approx f(a)+f'(a)\,(x-a),
onde:
a é o ponto em torno do qual aproximamos (aqui a=3);
f'(a) é a derivada de f avaliada em a;
x é o ponto onde queremos estimar (aqui x=\pi);
h=x-a é o deslocamento pequeno a partir de a.
Esta fórmula vem da expansão em série de Taylor truncada na primeira ordem: o termo constante mais o termo linear em (x-a).
Passo 3
Calcular f(a) e f'(x) explicitamente e avaliá-los em a=3.
f(x)=\sqrt{x}. Então
f(a)=\sqrt{3}.
Vou usar o valor numérico conhecido
\sqrt{3}\approx 1,7320508075688772.
Derivada: para f(x)=x^{1/2} temos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: a derivada dá a inclinação da reta tangente em cada ponto; aqui ela nos diz quanto muda \sqrt{x} se x muda um pouco.
Interpretação rápida: a aproximação linear em volta de x=3 dá uma estimativa com erro na ordem de 4{,}7\times 10^{-4}, ou seja, muito pequena para muitas aplicações; o erro relativo é cerca de 2{,}66\times10^{-4}.
Passo 8
(Bônus didático — estimativa do limite do erro pela fórmula do resto de Taylor de segunda ordem)
A segunda derivada de f é
f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}.
Num intervalo entre x=3 e x=\pi o módulo |f''(x)| é máximo em x=3. Tomando
que é um limite superior consistente com o erro real 0,0004711. Isso mostra que a estimativa do erro pela linearização é confiável e que o erro real está dentro da ordem prevista.