Desenhe áreas sob o gráfico da função
, que possuam os seguintes valores:
1
1
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar áreas sob o gráfico da função
,
, que tenham área igual a
.
Informações dadas:
- A função é
com domínio . - Queremos regiões sob a curva (ou seja, entre a curva, o eixo
e duas retas verticais e ) cujo valor da área seja .
Passo 2
Lembrete sobre área sob uma curva: a área entre a curva
, o eixo
e as retas verticais
e
(com
) é dada pela integral definida
Aqui
e
são as abscissas (valores de
) das retas verticais que limitam a região, e
é a altura da curva em cada
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
: o antiderivado (primitiva) de
é
, porque a derivada de
é
. Assim, para
,
Explicando:
e
são os valores da primitiva avaliados nos extremos; a diferença dá a área entre
e
.
Passo 4
Queremos que essa área valha
. Então impomos
Usando propriedades do logaritmo,
. Logo
Aplicando a exponencial em ambos os lados (isto é, elevando
a ambos os lados), obtemos
Portanto
Passo 5
Interpretação prática e exemplos: a condição
diz que, para obter área igual a
, basta escolher qualquer
e tomar
igual a
multiplicado por
. A área depende apenas da razão
, não da posição absoluta no eixo
.
Exemplos simples para desenhar:
- Se
, então . A área entre e sob vale . - Se
, então . A área entre e vale . - Se
, então . A área entre e vale . - Se
, então . A área entre e vale .
Para confirmar num exemplo: com
e
,
Passo 6
Como desenhar (passo a passo para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Esboce a hipérbole
para (decai para a direita, passa por etc.). - Marque a linha vertical
e a linha vertical . - Sombreie a região limitada por: a hipérbole acima, o eixo
abaixo, e as duas retas verticais e nas laterais. - Anote que essa região tem área
porque .
Dica: para um desenho limpo escolha
(então a região fica entre
e
e passa pelo ponto
que é fácil de marcar).
Passo 7
Observações importantes e restrições:
- Não se pode tomar
porque diverge (vai para infinito). Logo os limites verticais devem satisfazer . - Também não se obtém área finita usando
, pois diverge. - A família de todas as soluções é simplesmente: escolha qualquer
e tome .