Desenhe áreas sob o gráfico da função \frac{1}{x}, x>0, que possuam os seguintes valores:
1

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar áreas sob o gráfico da função \dfrac{1}{x}, x>0, que tenham área igual a 1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x} com domínio x>0.
  • Queremos regiões sob a curva (ou seja, entre a curva, o eixo x e duas retas verticais x=a e x=b) cujo valor da área seja 1.

Passo 2

Lembrete sobre área sob uma curva: a área entre a curva y=f(x), o eixo x e as retas verticais x=a e x=b (com 0<a<b) é dada pela integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui a e b são as abscissas (valores de x) das retas verticais que limitam a região, e f(x) é a altura da curva em cada x.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função f(x)=\dfrac{1}{x}: o antiderivado (primitiva) de \dfrac{1}{x} é \ln x, porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Assim, para 0<a<b,
\int_{a}^{b} \frac{1}{x}\,dx = \ln b - \ln a.
Explicando: \ln b e \ln a são os valores da primitiva avaliados nos extremos; a diferença dá a área entre x=a e x=b.

Passo 4

Queremos que essa área valha 1. Então impomos
\ln b - \ln a = 1.
Usando propriedades do logaritmo, \ln b - \ln a = \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right). Logo
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=1.
Aplicando a exponencial em ambos os lados (isto é, elevando e a ambos os lados), obtemos
\frac{b}{a}=e.
Portanto
b = a e.

Passo 5

Interpretação prática e exemplos: a condição b=ae diz que, para obter área igual a 1, basta escolher qualquer a>0 e tomar b igual a a multiplicado por e. A área depende apenas da razão \dfrac{b}{a}, não da posição absoluta no eixo x.
Exemplos simples para desenhar:
  • Se a=1, então b=e. A área entre x=1 e x=e sob y=1/x vale 1.
  • Se a=\dfrac{1}{e}, então b=1. A área entre x=\dfrac{1}{e} e x=1 vale 1.
  • Se a=2, então b=2e. A área entre x=2 e x=2e vale 1.
  • Se a=\dfrac{1}{2}, então b=\dfrac{e}{2}. A área entre x=\dfrac{1}{2} e x=\dfrac{e}{2} vale 1.
Para confirmar num exemplo: com a=1 e b=e,
\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.

Passo 6

Como desenhar (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Esboce a hipérbole y=\dfrac{1}{x} para x>0 (decai para a direita, passa por (1,1) etc.).
  3. Marque a linha vertical x=a e a linha vertical x=b=ae.
  4. Sombreie a região limitada por: a hipérbole acima, o eixo x abaixo, e as duas retas verticais x=a e x=b nas laterais.
  5. Anote que essa região tem área 1 porque \int_{a}^{ae}\dfrac{1}{x}\,dx=\ln(ae)-\ln a=1.
Dica: para um desenho limpo escolha a=1 (então a região fica entre x=1 e x=e e passa pelo ponto (1,1) que é fácil de marcar).

Passo 7

Observações importantes e restrições:
  • Não se pode tomar a=0 porque \int_{0}^{b}\dfrac{1}{x}\,dx diverge (vai para infinito). Logo os limites verticais devem satisfazer 0<a<b<\infty.
  • Também não se obtém área finita usando b=\infty, pois \int_{a}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx diverge.
  • A família de todas as soluções é simplesmente: escolha qualquer a>0 e tome b=ae.

Resposta

\text{Condição geral: } b = a e \text{ com } a>0.çã
[1,e]
[\tfrac{1}{e},1]
[2,2e]
[\tfrac{1}{2},\tfrac{e}{2}]

Exercícios relacionados