Estime o tamanho dos seguintes átomos: Si, Cu, Al, Pb e Sn. (Assuma temperatura ambiente).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que eu vou estimar:
- Pede: estimar o “tamanho” dos átomos de Si, Cu, Al, Pb e Sn à temperatura ambiente.
- Interpretação que vou usar: “tamanho” = raio atômico efetivo (ordem de grandeza), em picômetros (pm).
- Informação que vou precisar (e vou assumir valores padrão à temperatura ambiente): massas molares e densidades típicas dos sólidos:
- Massa molar
e densidade serão usadas para obter o volume médio ocupado por cada átomo no cristal.
- Massa molar
- Não foram dadas mais informações, então vou usar uma estratégia uniforme e explicada passo a passo.
Passo 2
Método escolhido (explicado de forma didática e sem pular etapas):
- Ideia física: num sólido cristalino cada mol de átomos ocupa um volume
(em por mol). Dividindo por obtemos o volume médio ocupado por um átomo:
Aqui:
-
é a massa molar (em ), -
é a densidade (em ), -
é o número de Avogadro . - Esse
é o volume do “cubo” de rede associado a cada átomo; os átomos não preenchem 100% desse volume — ocupam apenas uma fração (fator de empacotamento) dependendo da estrutura cristalina. Se assumirmos que o átomo pode ser representado por uma esfera cujo volume é a fração ocupada:
O raio efetivo
da esfera é então
- Valores típicos de
(fracao de empacotamento): - Estruturas FCC / compactas:
. - Estrutura diamond (Si):
(muito mais aberta).
- Estruturas FCC / compactas:
- Vou calcular
em porque é conveniente: usando a relação
e notando que
. Assim
Depois calculo
e o raio em
, convertendo para picômetros (
).
Passo 3
Constantes e dados que vou usar (valores padrão à temperatura ambiente, todos expressos em notação TeX):
-
- Fator
- Dados (massa molar
em , densidade em ): - Silício (Si):
- Cobre (Cu):
- Alumínio (Al):
- Chumbo (Pb):
- Estanho (Sn):
- Silício (Si):
- Fatores de empacotamento
usados: - Si (diamond):
- Cu, Al, Pb (FCC):
- Sn:
β‑Sn (metal) tem estrutura não-trivial; para Sn vou comentar no passo específico (usarei um valor tabulado para raio metálico, pois a geometria é mais complexa).
- Si (diamond):
Passo 4
Cálculo geral do volume por átomo (exemplo e fator numérico):
- Fórmula resumida:
Faço isso para cada elemento.
Para Si:
Para Cu:
Para Al:
Para Pb:
Para Sn:
(Estas são as volumes por átomo no cristal, em
.)
Passo 5
Transformar em raio usando o fator de empacotamento (primeiros quatro casos: Si, Cu, Al, Pb).
- Fórmula do raio (em
):
Faço os cálculos numéricos:
Para Si (
e
):
Arredondando para uma estimativa razoável:
.
Para Cu (
,
):
Estimativa:
.
Para Al (
,
):
Estimativa:
.
Para Pb (
,
):
Estimativa:
.
Passo 6
Caso do Estanho (Sn) — comentário sobre estrutura e escolha prática:
- O estanho metálico (forma branca,
-Sn) tem uma estrutura tetragonal mais complexa do que as FCC/diamond, então calcular o raio corretamente a partir do empacotamento exige conhecer a posição dos átomos na cela unitária. Para uma estimativa prática e útil em provas, é comum usar o raio metálico tabulado para -Sn. - Valores tabulados típicos dão o raio metálico de Sn em torno de
. Tomando um valor central e compatível com as estimativas obtidas por métodos semelhantes, uso:
(Se for necessário, pode-se obter um valor mais preciso usando os parâmetros de rede da
-Sn e calculando distâncias entre vizinhos mais próximos.)
Passo 7
Resumo das estimativas (valores arredondados com precisão adequada para uma prova; todas as etapas acima mostram como foram obtidos):
Resposta
Si:
Cu:
Al:
Pb:
Sn:
Cu:
Al:
Pb:
Sn: