Estime o tamanho dos seguintes átomos: Si, Cu, Al, Pb e Sn. (Assuma temperatura ambiente).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que eu vou estimar:
  • Pede: estimar o “tamanho” dos átomos de Si, Cu, Al, Pb e Sn à temperatura ambiente.
  • Interpretação que vou usar: “tamanho” = raio atômico efetivo (ordem de grandeza), em picômetros (pm).
  • Informação que vou precisar (e vou assumir valores padrão à temperatura ambiente): massas molares e densidades típicas dos sólidos:
    • Massa molar \,M e densidade \,\rho serão usadas para obter o volume médio ocupado por cada átomo no cristal.
  • Não foram dadas mais informações, então vou usar uma estratégia uniforme e explicada passo a passo.

Passo 2

Método escolhido (explicado de forma didática e sem pular etapas):
  • Ideia física: num sólido cristalino cada mol de átomos ocupa um volume \dfrac{M}{\rho} (em \text{cm}^3 por mol). Dividindo por N_A obtemos o volume médio ocupado por um átomo:
V_{\text{átomo}}=\frac{M}{\rho\,N_A}.á
Aqui:
  • M é a massa molar (em \text{g}\,\text{mol}^{-1}),
  • \rho é a densidade (em \text{g}\,\text{cm}^{-3}),
  • N_A é o número de Avogadro \,N_A=6{,}02214076\times10^{23}\,\text{mol}^{-1}.
  • Esse V_{\text{átomo}}á é o volume do “cubo” de rede associado a cada átomo; os átomos não preenchem 100% desse volume — ocupam apenas uma fração f (fator de empacotamento) dependendo da estrutura cristalina. Se assumirmos que o átomo pode ser representado por uma esfera cujo volume é a fração ocupada:
V_{\text{esfera}}=f\,V_{\text{átomo}}.á
O raio efetivo r da esfera é então
r=\left(\frac{3V_{\text{esfera}}}{4\pi}\right)^{1/3}.
  • Valores típicos de f (fracao de empacotamento):
    • Estruturas FCC / compactas: f\approx0{,}74048.
    • Estrutura diamond (Si): f\approx0{,}34 (muito mais aberta).
  • Vou calcular V_{\text{átomo}}á em \text{\AA}^3 porque é conveniente: usando a relação
V_{\text{átomo}}(\text{\AA}^3)=\frac{M}{\rho}\times\frac{10^{24}}{N_A}á
e notando que \dfrac{10^{24}}{N_A}\approx1{,}66054. Assim
V_{\text{átomo}}(\text{\AA}^3)=1{,}66054\cdot\frac{M}{\rho}.á
Depois calculo V_{\text{esfera}}=fV_{\text{átomo}}á e o raio em \text{\AA}, convertendo para picômetros ( 1\\ \text{\AA}=100\\ \text{pm}).

Passo 3

Constantes e dados que vou usar (valores padrão à temperatura ambiente, todos expressos em notação TeX):
  • N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.
  • Fator \dfrac{10^{24}}{N_A}\approx1{,}66054.
  • Dados (massa molar M em \text{g}\,\text{mol}^{-1}, densidade \rho em \text{g}\,\text{cm}^{-3}):
    • Silício (Si): M=28{,}0855,\\ \rho=2{,}329.
    • Cobre (Cu): M=63{,}546,\\ \rho=8{,}96.
    • Alumínio (Al): M=26{,}9815,\\ \rho=2{,}70.
    • Chumbo (Pb): M=207{,}2,\\ \rho=11{,}34.
    • Estanho (Sn): M=118{,}710,\\ \rho=7{,}31.
  • Fatores de empacotamento f usados:
    • Si (diamond): f=0{,}34.
    • Cu, Al, Pb (FCC): f=0{,}74048.
    • Sn: β‑Sn (metal) tem estrutura não-trivial; para Sn vou comentar no passo específico (usarei um valor tabulado para raio metálico, pois a geometria é mais complexa).

Passo 4

Cálculo geral do volume por átomo (exemplo e fator numérico):
  • Fórmula resumida:
V_{\text{átomo}}(\text{\AA}^3)=1{,}66054\cdot\frac{M}{\rho}.á
Faço isso para cada elemento.
Para Si:
V_{\text{átomo}}=1{,}66054\cdot\frac{28{,}0855}{2{,}329}=1{,}66054\cdot12{,}064\approx20{,}025\\ \text{\AA}^3.á
Para Cu:
V_{\text{átomo}}=1{,}66054\cdot\frac{63{,}546}{8{,}96}=1{,}66054\cdot7{,}0905\approx11{,}780\\ \text{\AA}^3.á
Para Al:
V_{\text{átomo}}=1{,}66054\cdot\frac{26{,}9815}{2{,}70}=1{,}66054\cdot9{,}992\approx16{,}590\\ \text{\AA}^3.á
Para Pb:
V_{\text{átomo}}=1{,}66054\cdot\frac{207{,}2}{11{,}34}=1{,}66054\cdot18{,}272\approx30{,}350\\ \text{\AA}^3.á
Para Sn:
V_{\text{átomo}}=1{,}66054\cdot\frac{118{,}710}{7{,}31}=1{,}66054\cdot16{,}236\approx26{,}960\\ \text{\AA}^3.á
(Estas são as volumes por átomo no cristal, em \text{\AA}^3.)

Passo 5

Transformar em raio usando o fator de empacotamento (primeiros quatro casos: Si, Cu, Al, Pb).
  • Fórmula do raio (em \text{\AA}):
r=\left(\frac{3\,f\,V_{\text{átomo}}}{4\pi}\right)^{1/3}.á
Faço os cálculos numéricos:
Para Si ( f=0{,}34 e V_{\text{átomo}}\approx20{,}025\\ \text{\AA}^3á ):
V_{\text{esfera}}=0{,}34\times20{,}025\approx6{,}8085\\ \text{\AA}^3,
r=\left(\frac{3\times6{,}8085}{4\pi}\right)^{1/3} =\left(\frac{20{,}4255}{12{,}5664}\right)^{1/3} \approx1{,}176\\ \text{\AA}=117,6\\ \text{pm}.
Arredondando para uma estimativa razoável: \mathbf{117\\ \text{pm}}.
Para Cu ( f=0{,}74048, V_{\text{átomo}}\approx11{,}780\\ \text{\AA}^3á ):
V_{\text{esfera}}=0{,}74048\times11{,}780\approx8{,}720\\ \text{\AA}^3,
r=\left(\frac{3\times8{,}720}{4\pi}\right)^{1/3}\approx1{,}279\\ \text{\AA}=127,9\\ \text{pm}.
Estimativa: \mathbf{128\\ \text{pm}}.
Para Al ( f=0{,}74048, V_{\text{átomo}}\approx16{,}590\\ \text{\AA}^3á ):
V_{\text{esfera}}=0{,}74048\times16{,}590\approx12{,}280\\ \text{\AA}^3,
r=\left(\frac{3\times12{,}280}{4\pi}\right)^{1/3}\approx1{,}430\\ \text{\AA}=143,0\\ \text{pm}.
Estimativa: \mathbf{143\\ \text{pm}}.
Para Pb ( f=0{,}74048, V_{\text{átomo}}\approx30{,}350\\ \text{\AA}^3á ):
V_{\text{esfera}}=0{,}74048\times30{,}350\approx22{,}470\\ \text{\AA}^3,
r=\left(\frac{3\times22{,}470}{4\pi}\right)^{1/3}\approx1{,}749\\ \text{\AA}=174,9\\ \text{pm}.
Estimativa: \mathbf{175\\ \text{pm}}.

Passo 6

Caso do Estanho (Sn) — comentário sobre estrutura e escolha prática:
  • O estanho metálico (forma branca, \beta-Sn) tem uma estrutura tetragonal mais complexa do que as FCC/diamond, então calcular o raio corretamente a partir do empacotamento exige conhecer a posição dos átomos na cela unitária. Para uma estimativa prática e útil em provas, é comum usar o raio metálico tabulado para \beta-Sn.
  • Valores tabulados típicos dão o raio metálico de Sn em torno de \,140\text{–}145\\ \text{pm}. Tomando um valor central e compatível com as estimativas obtidas por métodos semelhantes, uso:
\text{Sn: }r\approx145\\ \text{pm}.
(Se for necessário, pode-se obter um valor mais preciso usando os parâmetros de rede da \beta-Sn e calculando distâncias entre vizinhos mais próximos.)

Passo 7

Resumo das estimativas (valores arredondados com precisão adequada para uma prova; todas as etapas acima mostram como foram obtidos):
  • \text{Si}\approx117\\ \text{pm}
  • \text{Cu}\approx128\\ \text{pm}
  • \text{Al}\approx143\\ \text{pm}
  • \text{Pb}\approx175\\ \text{pm}
  • \text{Sn}\approx145\\ \text{pm}

Resposta

Si: 117\\ \text{pm}
Cu: 128\\ \text{pm}
Al: 143\\ \text{pm}
Pb: 175\\ \text{pm}
Sn: 145\\ \text{pm}

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