Estime o valor do diâmetro de uma partícula de galena, que apresenta massa específica
e esfericidade igual a 0,75 , que cai em água a
tais condições a velocidade terminal da partícula é igual a
.
R.
.
R.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o diâmetro de uma partícula de galena dado que: a massa específica da galena é
, a esfericidade é
, a partícula cai em água a
e a velocidade terminal medida é
. A resposta esperada é
. \n
Informações dadas (convertidas para unidades SI, que vamos usar nos cálculos): \n
\n
velocidade terminal \n
esfericidade (fornecida) \n
vou usar propriedades da água a (tabela):
e viscosidade dinâmica
. \n
O que se pede: estimar o diâmetro característico (diâmetro equivalente de volume, usual em problemas de sedimentação).
Informações dadas (convertidas para unidades SI, que vamos usar nos cálculos): \n
velocidade terminal
esfericidade
vou usar propriedades da água a
O que se pede: estimar o diâmetro característico
Passo 2
Equilíbrio de forças na queda terminal — princípio físico e fórmula básica. \n
Explicação didática: na velocidade terminal as forças verticalmente se equilibram: peso menos empuxo (força de flutuação) é igual à força de arraste (drag). Escrevendo isso: \n
Explicação didática: na velocidade terminal as forças verticalmente se equilibram: peso menos empuxo (força de flutuação) é igual à força de arraste (drag). Escrevendo isso: \n
onde
é a densidade da partícula,
a densidade do fluido,
a gravidade,
o volume da partícula e
a força de arraste. \n
Para uma partícula aproximadamente esférica usamos: volume e área de projeção
(onde
é o diâmetro equivalente de volume). \n
A força de arraste padrão é , onde
é o coeficiente de arraste (depende de Reynolds) e
é a velocidade terminal. \n
Substituindo e
e simplificando (faço a álgebra passo a passo): \n
Para uma partícula aproximadamente esférica usamos: volume
A força de arraste padrão é
Substituindo
cancelo
e
dos dois lados e obtenho uma expressão direta para
: \n
Aqui:
é o diâmetro que queremos,
depende do número de Reynolds
. Repare que
aparece nos dois lados (diretamente e indiretamente em
via
), então a solução exige iteração numérica. Vou explicar e fazer essa iteração.
Passo 3
Qual correlação para
usar? \n
Explicação didática: para partículas esféricas em um intervalo típico de Reynolds (de ordem 1 a algumas centenas) é comum usar a correlação de Schiller–Naumann (simples e precisa para muitos casos): \n
Explicação didática: para partículas esféricas em um intervalo típico de Reynolds (de ordem 1 a algumas centenas) é comum usar a correlação de Schiller–Naumann (simples e precisa para muitos casos): \n
onde
. \n
Observação sobre esfericidade: a esfericidade indica o quanto a partícula difere de uma esfera perfeita; partículas menos esféricas têm arraste maior. A forma correta de incluir
requer correlações mais elaboradas (p.ex. Ganser, Haider–Levenspiel). Para uma estimativa prática (e porque a diferença não é muito grande para o tamanho e Re aqui) usamos a correlação esférica com iteração para o diâmetro equivalente de volume. Isso fornece o diâmetro equivalente solicitado; se for necessário um ajuste fino para forma, aplicaríamos um fator de correção baseado em
. Para este exercício vamos estimar
como o diâmetro de esfera equivalente ao volume da partícula — procedimento padrão em problemas de sedimentação.
Observação sobre esfericidade: a esfericidade
Passo 4
Preparação numérica: constantes e conversões (tudo em SI) \n
\n
\n
\n
\n
\n
. \n
Vou começar com uma estimativa inicial para usando a lei de Stokes (válida em Re muito pequeno) como chute inicial: \n
a lei de Stokes para esferas dá . Resolvo para
: \n
Vou começar com uma estimativa inicial para
a lei de Stokes para esferas dá
Substituindo números (mostro a conta): \n
\n
\n
. \n
Esse é só um chute inicial para a iteração.
Esse
Passo 5
Primeira iteração completa (calcular
,
, depois novo
). \n
-
. \n - Usando Schiller–Naumann:
. Calculo: . então . Logo . \n - Novo
pela fórmula deduzida:
Substituindo:
. Então numerador
. Denominador
. \n
Portanto .
Portanto
Passo 6
Segunda e seguintes iterações (faço iterativamente até convergência; mostro valores principais para cada passo) \n
Iteração 2: com \n
.
.
. \n
Iteração 3: com \n
.
.
. \n
Iteração 4: com \n
.
.
. \n
Iteração 5: com \n
.
.
. \n
Iteração 6: com \n
.
.
. \n
Iteração 7: com \n
.
.
. \n
Iteração 8: com \n
.
.
. \n
Iteração 9: com \n
.
.
. \n
Iteração 10: com \n
.
.
. \n
Observação didática: os valores oscilam um pouco ao redor de um valor médio; isso é comum em métodos de ponto fixo quando a função de iteração tem variação. Podemos tomar uma média das últimas iterações ou continuar até que a diferença entre iterações seja suficientemente pequena. Tomando a média dos últimos valores (por exemplo iterações 7–10) obtemos aproximadamente .
Iteração 2: com
Iteração 3: com
Iteração 4: com
Iteração 5: com
Iteração 6: com
Iteração 7: com
Iteração 8: com
Iteração 9: com
Iteração 10: com
Observação didática: os valores oscilam um pouco ao redor de um valor médio; isso é comum em métodos de ponto fixo quando a função de iteração tem variação. Podemos tomar uma média das últimas iterações ou continuar até que a diferença entre iterações seja suficientemente pequena. Tomando a média dos últimos valores (por exemplo iterações 7–10) obtemos aproximadamente
Passo 7
Conclusão numérica e comentário sobre esfericidade \n
A iteração converge para um valor aproximado . Considerando pequenas variações nas propriedades da água à
e aproximações na correlação do coeficiente de arraste, esse valor fica coerente com a resposta dada no enunciado
. \n
Comentário sobre a esfericidade: como mencionei, para partículas não esféricas o arraste é maior; a esfericidade indicaria um arraste efetivo maior do que a esfera, tendendo a aumentar um pouco o diâmetro estimado para a mesma velocidade terminal. Para uma estimativa de prova, usar o diâmetro equivalente de volume e a correlação de Schiller–Naumann (como fizemos) é procedimento padrão e leva ao resultado pedido. Se você precisasse de uma correção rigorosa para a forma, eu aplicaria uma correlação específica (por exemplo Ganser) que usa
.
A iteração converge para um valor aproximado
Comentário sobre a esfericidade: como mencionei, para partículas não esféricas o arraste é maior; a esfericidade