Obtenha o valor da velocidade terminal das gotas de chuva de 1 mm de diâmetro, que caem pelo ar a
. Considere a gota com esfericidade igual a 1 .
R.
.
R.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade terminal de gotas de chuva de diâmetro
que caem no ar à temperatura
. Dados fornecidos e escolhas numéricas que vamos usar (valores típicos):
Constantes físicas que usaremos (valores usuais; quando necessário eu explico a origem):
O que devemos entregar: a velocidade terminal
(valor numérico em
).
Passo 2
Calcular as quantidades geométricas e a massa da gota (passo a passo, explicando fórmulas).
- Raio da gota:
- Volume da esfera (fórmula): o volume de uma esfera é
Substituindo:
(Explicação curta: calculei
, multipliquei por
e por
.)
- Área de seção transversal (importante para arrasto):
- Massa da gota:
Passo 3
Forças atuantes e definição de equilíbrio para velocidade terminal.
- Peso (força gravitacional):
- Empuxo (força devida ao ar deslocado) — usando a densidade do ar:
Observação: esse empuxo é muito pequeno comparado ao peso; a força efetiva que o ar precisa suportar é
- Arrasto (força de resistência do ar): para uma esfera em regime de velocidade relativamente alta, usamos a fórmula quadrática do arrasto:
onde
é o coeficiente de arrasto (adimensional), que depende do número de Reynolds. No equilíbrio terminal:
Portanto a equação que determina
é
Isolando
:
(Explicação: o arrasto quadrático é válido quando o arrasto viscoso linear de Stokes não domina; a constante
engloba a dependência do regime de escoamento.)
Passo 4
Número de Reynolds e validação do regime de Stokes.
- Definição do número de Reynolds para a esfera:
Antes de resolver com a relação quadrática, verificamos se o regime de Stokes (arrasto linear
) poderia ser aplicado. Pela fórmula de Stokes, a velocidade terminal aproximada seria
Substituindo números:
Isso daria um número de Reynolds
ou seja, muito grande. Conclusão: a hipótese de Stokes (baixo
) é inválida — o arrasto não é puramente viscoso linear; portanto precisamos do arrasto quadrático com um
apropriado.
Passo 5
Escolha do coeficiente de arrasto
e justificativa didática.
- O coeficiente
de uma esfera varia com . Para esferas, em experimentos e correlações empíricas observa-se que, na faixa de entre algumas centenas até poucos milhares, valores típicos de ficam na faixa de a . Uma formulação empírica amplamente usada (Schiller–Naumann) dá
- Uma forma prática, usada em muitas estimativas de gotas de chuva, é tomar um valor representativo de
para a ordem de grandeza esperada. Para gotas de (que experimentalmente têm algumas centenas), um valor típico e razoável é
Justificativa curta e intuitiva: testes experimentais com esferas mostram
por volta de
na faixa de
; além disso, adotar
é simples e dá uma boa estimativa final da velocidade terminal (há também tabelas experimentais específicas para gotas que confirmam um valor de
em torno de
para
).
Passo 6
Cálculo numérico da velocidade terminal usando
(substituir diretamente na fórmula).
Recordando a fórmula:
Recordando a fórmula:
Substituindo
,
,
,
:
Mas atenção: a raiz acima é do quociente adimensional; para obter a velocidade final
(Explicação passo a passo das contas: calculei numerador e denominador, dividi e então calculei a raiz quadrada. O número mostrado já está arredondado para duas casas decimais, conveniente para uso em prova.)
Passo 7
Checagem qualitativa e comentário final (como agir na prova).
- Fizemos uma verificação rápida: com
, o número de Reynolds seria
que está na faixa onde
tipicamente vale algo entre
e
, logo a escolha
é consistente e produz uma estimativa coerente. Se você quiser ser mais rigoroso numa prova, pode iterar: calcular
com a
obtida, atualizar
por Schiller–Naumann e recalcular; a iteração converge para um valor da mesma ordem (≈
).
- Resumindo: o procedimento a seguir numa prova curta é (1) escrever as forças, (2) usar
, (3) justificar um típico pela faixa de , e (4) calcular . Não tente usar Stokes para gotas de — ele dá números absurdos porque o regime não é viscoso-dominante.