1. Estime o valor de
\int_{1}^{6} f(x) d x
usando a Regra de Simpson.
Para s de 1 a n :
x_{s}^{k+1} \leftarrow \frac{1}{a_{s, s}}\left(b_{s}-\sum_{j=1}^{s-1} a_{s, j} x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=s+1}^{n} a_{s, j} x_{j}^{(k)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\int_{1}^{6} f(x)\,dx
usando a Regra de Simpson. As informações dadas no enunciado são apenas os limites de integração a=1 e b=6. Também foi apresentada, a seguir, uma fórmula iterativa
x_{s}^{(k+1)} \leftarrow \frac{1}{a_{s,s}}\left(b_{s}-\sum_{j=1}^{s-1} a_{s,j} x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=s+1}^{n} a_{s,j} x_{j}^{(k)}\right),
mas essa fórmula é uma iteração para resolver sistemas lineares (veremos isso mais adiante).\n\nInformações que faltam e que são essenciais para calcular a estimativa pedida:
\text{não foi fornecida a função } f(x)\text{ nem foram fornecidos valores de }f\text{ em pontos.}ãçã
Sem a expressão de f ou sem valores de f em nós igualmente espaçados (e sem a escolha do número de subintervalos n, com n par), não é possível obter um valor numérico para a estimação usando Simpson.

Passo 2

O que é a Regra de Simpson (ideia e fórmula composta).\n\nIdeia: a Regra de Simpson aproxima f por polinômios quadráticos em pares de subintervalos e integra esses polinômios exatamente. Para aplicar a versão composta, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de largura igual h, exigindo que n seja par.\n\nDefinições importantes:
a=1,\qquad b=6,\qquad n\text{ deve ser par},\qquad h=\frac{b-a}{n}.
Nós uniformes:
x_i = a + i h,\quad i=0,1,\dots,n.
Fórmula composta de Simpson (a que você deve usar na prova):
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big],
onde os coeficientes em sequência são 1,4,2,4,2,\dots,4,1. Expliquei cada símbolo antes; repito: h=(b-a)/n, x_i são os nós, f(x_i) são as avaliações da função nesses nós.

Passo 3

Passo a passo prático para aplicar Simpson na prova (o que fazer, linha a linha).\n\n1) Escolher um n par segundo o critério de precisão/tempo (na prova, muitas vezes n=2 ou n=4 bastam).\n\n2) Calcular
h=\frac{6-1}{n}=\frac{5}{n}.\n\n3) Calcular os nós
x_i=1+i h,\qquad i=0,\dots,n.\n\n4) Avaliar a função em cada nó: obter f(x_0), f(x_1),\dots,f(x_n). Observação importante: sem estes valores ou sem a expressão de f não dá para prosseguir numericamente.\n\n5) Montar a soma ponderada
S=f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)+f(x_n).í\n\n6) Calcular a aproximação
\text{Aprox}= \frac{h}{3} S.\n\n7) (Se quiser estimar o erro) usar o termo de erro do método de Simpson: existe \xi\in(a,b) tal que
E=-\frac{(b-a)}{180}h^{4} f^{(4)}(\xi).
Isto indica que o erro depende de h^{4} e da quarta derivada de f. Na prática, reduzir h (aumentar n) reduz muito o erro.

Passo 4

Exemplo numérico completo (para aprender fazendo): vou mostrar passo a passo com uma função simples que eu escolho só para demonstrar o cálculo — NÃO estou inventando dados para o seu exercício, apenas mostrando como você faria quando tiver f.\n\nEscolho f(x)=x^{2} no intervalo [1,6] e tomo n=4 (par).\n\nCalculemos:\n h=\frac{5}{4}=\frac{5}{4}.\nNós:\n x_0=1,\quad x_1=1+\tfrac{5}{4}=\tfrac{9}{4},\quad x_2=1+2\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{7}{2},\quad x_3=\tfrac{19}{4},\quad x_4=6.\nAvaliações:\n f(x_0)=1^{2}=1,\quad f(x_1)=\left(\tfrac{9}{4}\right)^{2}=\tfrac{81}{16},\quad f(x_2)=\left(\tfrac{7}{2}\right)^{2}=\tfrac{49}{4},\n f(x_3)=\left(\tfrac{19}{4}\right)^{2}=\tfrac{361}{16},\quad f(x_4)=6^{2}=36.\nSoma ponderada S:\n S=1+4\cdot\tfrac{81}{16}+2\cdot\tfrac{49}{4}+4\cdot\tfrac{361}{16}+36.\nSimplificando (colocando tudo em denominador 4):\n S=\frac{4+81+98+361+144}{4}=\frac{688}{4}=172.\nAgora a aproximação:\n \text{Aprox}=\frac{h}{3}S=\frac{5/4}{3}\cdot 172=\frac{5}{12}\cdot 172=\frac{860}{12}=\frac{215}{3}\approx 71{,}666\ldots\nObservação: este resultado coincide com a integral exata de x^{2} entre 1 e 6, que é\n \int_{1}^{6} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{6}=\frac{216-1}{3}=\frac{215}{3}.
Isto mostra que a aplicação prática da Regra de Simpson segue exatamente os passos do Passo 3.

Passo 5

Comentário sobre a fórmula iterativa do enunciado e por que apareceu ela aqui (para não ficar confuso).\n\nA fórmula
x_{s}^{(k+1)} \leftarrow \frac{1}{a_{s,s}}\left(b_{s}-\sum_{j=1}^{s-1} a_{s,j} x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=s+1}^{n} a_{s,j} x_{j}^{(k)}\right)
é a iteração de Gauss–Seidel para resolver um sistema linear A x=b. Ela nada tem a ver diretamente com a Regra de Simpson; talvez o enunciado agrupou duas questões diferentes. Algumas observações rápidas e úteis para a prova:\n\n- Essa iteração usa os valores mais recentes x_j^{(k+1)} para j<s e os antigos x_j^{(k)} para j>s.\n- Requisitos básicos: a_{s,s}\neq 0 para todo s. Convergência geralmente acontece quando A é estritamente diagonal dominante ou simétrica definida positiva.\n- Se, na sua prova, aparecerem sistemas lineares junto com integração numérica, trate-os separadamente: Simpson para integração; Gauss–Seidel quando precisar resolver A x=b.

Passo 6

Conclusão aplicada ao seu exercício original.\n\nComo o enunciado não fornece a função f(x) nem valores de f nos nós, eu não posso calcular numericamente a estimativa pedida. O que eu te dei acima é tudo o que você precisa saber para executar Simpson passo a passo na prova: como escolher n (par), como calcular h, como obter os nós x_i, como avaliar f(x_i), montar a soma com pesos 1,4,2,\dots,4,1 e multiplicar por h/3. Também te mostrei um exemplo completo com f(x)=x^{2} para praticar.\n\nSe você quiser que eu faça a estimativa numérica agora, me forneça uma das duas coisas (não pergunto aqui, só informo o que é necessário):\n\n- a expressão analítica de f(x) (por exemplo f(x)=\ln x ou f(x)=\sin x); ou\n- os valores numéricos de f em nós igualmente espaçados entre 1 e 6 e o número de subintervalos n (com n par).\n\nCom qualquer uma dessas informações eu faço o cálculo detalhado e te mostro cada conta como no exemplo.

Resposta

Não é possível estimar numericamente \displaystyle\int_{1}^{6} f(x)\,dx porque o enunciado não fornece a função f nem valores de f nos pontos necessários; para aplicar a Regra de Simpson preciso da expressão de f(x) ou dos valores f(x_i) em nós igualmente espaçados e de um n par.

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