1. Resolva o sistema linear pelo Método de Eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{c} X_{1}-X_{2}+2 X_{3}=2 \\\\ 2 X_{1}+X_{2}-X_{3}=1 \\\\ -2 X_{1}-5 X_{2}+3 X_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O que o problema pede: resolver o sistema linear pelo Método de Eliminação de Gauss, ou seja, encontrar os valores de X_{1}, X_{2} e X_{3} que satisfazem simultaneamente as três equações:
\begin{cases} X_{1}-X_{2}+2X_{3}=2,\\[4pt] 2X_{1}+X_{2}-X_{3}=1,\\[4pt] -2X_{1}-5X_{2}+3X_{3}=3. \end{cases}
Informações dadas: as três equações acima (cada coeficiente e o termo independente). A tarefa é aplicar a eliminação de Gauss passo a passo até obter solução única (se existir).]

Passo 2

Primeiro conceito importante (mini-aula): representação por matriz aumentada e operações elementares. A matriz aumentada junta os coeficientes e os termos independentes; cada linha corresponde a uma equação. As operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
  1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
  2. multiplicar uma linha por número não nulo: R_i \leftarrow cR_i com c\neq 0,
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + cR_j.
Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & -5 & 3 & 3 \end{array}\right].
O objetivo é, usando as operações acima, triangularizar (zerar elementos abaixo dos pivôs) e então fazer substituição regressiva.]

Passo 3

Eliminação da coluna 1 (zerar os elementos abaixo do pivô 1 em R_1). Vou usar operações do tipo R_i \leftarrow R_i + cR_1 ou R_i \leftarrow R_i - cR_1.
Aplicamos
R_{2} \leftarrow R_{2}-2R_{1}
e
R_{3} \leftarrow R_{3}+2R_{1}.
Faço as contas elemento a elemento:
Para R_2: coeficientes
2-2\cdot1=0, 1-2\cdot(-1)=1+2=3, -1-2\cdot2=-1-4=-5, termo independente 1-2\cdot2=1-4=-3.
Logo R_2 vira [0\;\;3\;\;-5\;|\;-3].
Para R_3: coeficientes
-2+2\cdot1=0, -5+2\cdot(-1)=-5-2=-7, 3+2\cdot2=3+4=7, termo independente 3+2\cdot2=3+4=7.
Logo R_3 vira [0\;\;-7\;\;7\;|\;7].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -5 & -3\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora escolhemos o pivô na segunda linha, coluna 2: 3 em R_2. Vamos zerar o elemento abaixo dele (em R_3). Uma operação direta é:
R_{3} \leftarrow R_{3} + \frac{7}{3}R_{2},
pois assim o novo segundo elemento de R_3 fica -7 + \dfrac{7}{3}\cdot 3 = -7+7=0.
Faço as contas para essa operação:
Para a coluna 2 já vimos que zera. Para a coluna 3:
7 + \dfrac{7}{3}\cdot(-5)=7 - \dfrac{35}{3}=\dfrac{21-35}{3}=-\dfrac{14}{3}.
Para o termo independente:
7 + \dfrac{7}{3}\cdot(-3)=7 -7 =0.
Assim R_3 passa a ser [0\;\;0\;\;-\dfrac{14}{3}\;|\;0]. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{14}{3} & 0 \end{array}\right].
Observação pedagógica: poderíamos também ter multiplicado linhas por constantes inteiras e somado para evitar frações temporárias; por exemplo, 7R_2 + 3R_3 dá diretamente [0\;0\;-14\;|\;0]. Tanto faz; o resultado é equivalente. Frações são normais e não atrapalham.]

Passo 5

A partir da última linha temos uma equação apenas em X_{3}. Escrevendo a terceira linha como equação:
-\dfrac{14}{3}X_{3}=0.
Para isolar X_{3} dividimos ambos os lados por -\dfrac{14}{3} (operação permitida: multiplicar por inverso):
X_{3}=0.
Breve explicação: dividir por um número não nulo mantém a equivalência das equações; aqui o lado direito é zero, então X_3 vale zero.

Passo 6

Agora substituímos X_{3}=0 na segunda linha (que era 0\cdot X_{1}+3X_{2}-5X_{3}=-3), ou em forma de equação:
3X_{2}-5X_{3}=-3.
Substituindo X_{3}=0
3X_{2}=-3.
Dividindo por 3:
X_{2}=-1.
Explicação rápida: é o processo de substituição regressiva: já que conhecemos X_{3}, usamos a equação que envolve X_{2} e X_{3} para encontrar X_{2}.

Passo 7

Finalmente substituímos X_{2}=-1 e X_{3}=0 na primeira equação original (ou na primeira linha triangularizada), que é
X_{1}-X_{2}+2X_{3}=2.
Substituindo:
X_{1}-(-1)+2\cdot 0 =2 \quad\Rightarrow\quad X_{1}+1=2.
Logo
X_{1}=1.
Pequena comemoração: pronto! Encontramos todos os valores.

Resposta

X_{1}=1
X_{2}=-1
X_{3}=0

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