1. Calcular
\equiv_{3}^{2} x e^{x / 2} d x
pela regra de 1 / 3 de Simpson, dada a tabela
x 2 2,25 2,5 2,75 3
\mathrm{xe}^{\mathrm{x} / 2} 2,71 3,08 3,49 3,96 4,48

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{2}^{3} x e^{x/2}\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 composta, com os valores da função fornecidos na tabela. Dados relevantes (retirei-os da tabela dada no enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} x & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3 \\\ \hline x e^{x/2} & 2,71 & 3,08 & 3,49 & 3,96 & 4,48 \end{array}
As abscissas estão igualmente espaçadas e vão de 2 até 3. A tabela fornece 5 pontos de amostragem da função.

Passo 2

Verificação do espaçamento e número de subintervalos (condição para usar Simpson 1/3 composta): o número de subintervalos é n=4 (pois há 5 pontos, índices 0 a 4). Simpson composta exige que n seja par, o que é satisfeito. O passo (tamanho de cada subintervalo) é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-2}{4}=0,25.

Passo 3

Explicação didática da regra de Simpson 1/3 composta (por que os coeficientes 4 e 2?):
  • A regra de Simpson em um par de subintervalos ( x_0,x_1,x_2 com passo h) aproxima a função por um polinômio de grau 2 (uma parábola) que passa pelos três pontos e integra essa parábola exatamente. O resultado para esse bloco é
\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f_0+4f_1+f_2\big).
  • Na regra composta, cobrimos o intervalo por vários desses blocos consecutivos. Ao juntar blocos, os termos interiores alternam os coeficientes e os pontos intermediários aparecem com coeficiente 4 quando são “ímpares” (pontos centrais dos blocos) e coeficiente 2 quando são nós internos compartilhados entre dois blocos. Assim, a fórmula composta para n par é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + f_n + 4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f_k + 2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f_k\Big).í
Aqui f_k=f(x_k) e x_k=a+kh.

Passo 4

Identificar os f_k a partir da tabela (usei os valores da tabela):
\begin{aligned} f_0 &= f(2)=2,71,\\\ f_1 &= f(2,25)=3,08,\\\ f_2 &= f(2,5)=3,49,\\\ f_3 &= f(2,75)=3,96,\\\ f_4 &= f(3)=4,48. \end{aligned}

Passo 5

Calcular as somas necessárias para a fórmula composta:
  • Soma dos termos de índice ímpar ( k=1,3):
\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{3} f_k = f_1+f_3 = 3,08 + 3,96 = 7,04.í
  • Soma dos termos de índice par interno ( k=2):
\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{2} f_k = f_2 = 3,49.
  • Soma dos extremos:
f_0+f_4 = 2,71 + 4,48 = 7,19.

Passo 6

Aplicar a fórmula composta de Simpson:
\int_{2}^{3} x e^{x/2}\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0+f_4 + 4(f_1+f_3) + 2(f_2)\Big).
Substituindo os valores numéricos e h=0,25:
\int_{2}^{3} x e^{x/2}\,dx \approx \frac{0,25}{3}\Big(7,19 + 4\cdot 7,04 + 2\cdot 3,49\Big).
Calculemos o conteúdo dos parênteses passo a passo:
4\cdot 7,04 = 28,16,
2\cdot 3,49 = 6,98,
7,19 + 28,16 + 6,98 = 42,33.
Agora multiplica-se por h/3. Note que \frac{0,25}{3}=\frac{1}{12}:
\int_{2}^{3} x e^{x/2}\,dx \approx \frac{42,33}{12} = 3,5275.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova:
  • O valor obtido é uma aproximação pelo método numérico. Na prova geralmente basta apresentar os passos (cálculo de h, identificação dos f_k, aplicação da fórmula) e o resultado numérico.
  • Dica rápida: sempre cheque se o número de subintervalos é par antes de aplicar Simpson composta; se não for, use Simpson até o penúltimo subintervalo e outro método (trapézio) no último, ou ajuste a subdivisão.

Resposta

3,5275

Exercícios relacionados