- Calcular
pela regra de
de Simpson, dada a tabela
x
2
2,25
2,5
2,75
3
2,71
3,08
3,49
3,96
4,48
| x | 2 | 2,25 | 2,5 | 2,75 | 3 |
|
|
2,71 | 3,08 | 3,49 | 3,96 | 4,48 |
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra de Simpson 1/3 composta, com os valores da função fornecidos na tabela. Dados relevantes (retirei-os da tabela dada no enunciado):
As abscissas estão igualmente espaçadas e vão de
até
. A tabela fornece
pontos de amostragem da função.
Passo 2
Verificação do espaçamento e número de subintervalos (condição para usar Simpson 1/3 composta): o número de subintervalos é
(pois há
pontos, índices
a
). Simpson composta exige que
seja par, o que é satisfeito. O passo (tamanho de cada subintervalo) é
Passo 3
Explicação didática da regra de Simpson 1/3 composta (por que os coeficientes
e
?):
- A regra de Simpson em um par de subintervalos (
com passo ) aproxima a função por um polinômio de grau 2 (uma parábola) que passa pelos três pontos e integra essa parábola exatamente. O resultado para esse bloco é
- Na regra composta, cobrimos o intervalo por vários desses blocos consecutivos. Ao juntar blocos, os termos interiores alternam os coeficientes e os pontos intermediários aparecem com coeficiente
quando são “ímpares” (pontos centrais dos blocos) e coeficiente quando são nós internos compartilhados entre dois blocos. Assim, a fórmula composta para par é
Aqui
e
.
Passo 4
Identificar os
a partir da tabela (usei os valores da tabela):
Passo 5
Calcular as somas necessárias para a fórmula composta:
- Soma dos termos de índice ímpar (
):
- Soma dos termos de índice par interno (
):
- Soma dos extremos:
Passo 6
Aplicar a fórmula composta de Simpson:
Substituindo os valores numéricos e
:
Calculemos o conteúdo dos parênteses passo a passo:
Agora multiplica-se por
. Note que
:
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova:
- O valor obtido é uma aproximação pelo método numérico. Na prova geralmente basta apresentar os passos (cálculo de
, identificação dos , aplicação da fórmula) e o resultado numérico. - Dica rápida: sempre cheque se o número de subintervalos é par antes de aplicar Simpson composta; se não for, use Simpson até o penúltimo subintervalo e outro método (trapézio) no último, ou ajuste a subdivisão.