Estireno foi polimerizado em concentração de 208 \mathrm{~g} . \mathrm{dm}^{-3} em dicloreto de etileno, usando ácido sulfúrico como iniciador a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}. Conhecendo as constantes de velocidade de propagação, rearranjo íon-par e transferência para o monômero, que são 7,6 \mathrm{dm}^{-3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, 4,9 \times 10^{-2} \mathrm{~s}^{-1} e 0,12 \mathrm{dm}^{-3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, respectivamente, calcule a massa molar do poliestireno formado nos estágios iniciais da reação.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi fornecido:
  • Pedido: calcular a massa molar do poliestireno formado nos estágios iniciais da reação (ou seja, a massa molar média por cadeia, M_n).
  • Dados fornecidos:
    • Concentração de monómero (estireno): 208\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
    • Constante de velocidade de propagação: k_p=7{,}6\\ \mathrm{dm^{3}\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}.
    • Constante de velocidade de rearranjo íon-par (desativação do sítio ativo): k_r=4{,}9\times10^{-2}\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Constante de velocidade de transferência para o monómero: k_{tr}=0{,}12\\ \mathrm{dm^{3}\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Informação adicional usada (não fornecida no enunciado, adotada por ser a massa molar do monómero estireno): massa molar do estireno M_0=104{,}15\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Objetivo operacional: obter primeiro o comprimento médio de cadeia (grau de polimerização médio, \bar{X}_n ou DP_n), e depois calcular M_n = DP_n\cdot M_0.

Passo 2

Entendendo a física química por trás e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Em polimerização iônica catiônica, uma cadeia ativa (um cátion) cresce por adição de monômero com velocidade proporcional a k_p e à concentração de monómero [M]. A velocidade de crescimento em unidades de monômero por segundo, por cadeia ativa, é
\text{velocidade de crescimento por cadeia} = k_p\,[M].
Aqui cada adição aumenta o comprimento da cadeia em 1 unidade monomérica.
  • Ao mesmo tempo existem processos que cessam ou “dormem” o sítio ativo: (i) reorganização/pareamento íon-par que desativa o cátion (taxa k_r, com unidades de \mathrm{s^{-1}}); (ii) transferência para monómero, que remove o sítio ativo da cadeia em crescimento com velocidade proporcional a k_{tr}[M] (unidades \mathrm{s^{-1}}).
  • Para uma cadeia média, a taxa total de eventos que interrompem o crescimento (probabilidade por segundo de interromper) é
\text{taxa de interrupção por cadeia} = k_r + k_{tr}\,[M].çã
  • Intuição central (fácil de lembrar na prova): o comprimento médio de cadeia em número de unidades monoméricas, DP_n, é a razão entre a velocidade de crescimento (unidades monômero/s por cadeia) e a taxa de interrupção (1/s), isto é,
DP_n=\dfrac{k_p\,[M]}{k_r + k_{tr}\,[M]}.
  • Depois de obter DP_n, a massa molar média em número é
M_n = DP_n \cdot M_0,
onde M_0 é a massa molar do monómero (estireno).

Passo 3

Converter a concentração de monómero de \mathrm{g\cdot dm^{-3}} para \mathrm{mol\cdot dm^{-3}}.
  • A concentração dada é 208\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
  • Usando M_0=104{,}15\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, a concentração molar é
[M]=\dfrac{208}{104{,}15}\\ \mathrm{mol\cdot dm^{-3}}.
  • Calcular numericamente:
[M]=\dfrac{208}{104{,}15}\approx 1{,}997\\ \mathrm{mol\cdot dm^{-3}}.
(Arredondamento conservador para três casas significativas.)

Passo 4

Calcular o termo do denominador k_r + k_{tr}\,[M].
  • Substituindo os valores:
k_r + k_{tr}\,[M] = 4{,}9\times10^{-2} + 0{,}12\cdot 1{,}997\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Primeiro calcule 0{,}12\cdot 1{,}997:
0{,}12\cdot 1{,}997 = 0{,}23964\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Portanto
k_r + k_{tr}\,[M] = 0{,}049 + 0{,}23964 = 0{,}28864\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular o numerador k_p\,[M] e então DP_n.
  • Numerador:
k_p\,[M] = 7{,}6\cdot 1{,}997 = 15{,}1772\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Grau de polimerização médio:
DP_n = \dfrac{15{,}1772}{0{,}28864}\approx 52{,}60.
  • Interpretação: em média cada cadeia tem cerca de 52{,}6 unidades de estireno nas etapas iniciais sob essas condições.

Passo 6

Converter DP_n em massa molar média M_n.
  • Aplicando M_n = DP_n\cdot M_0:
M_n = 52{,}60 \cdot 104{,}15\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Cálculo numérico:
M_n \approx 5478\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Para apresentação com três algarismos significativos:
M_n \approx 5{,}48\times 10^{3}\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Comentário final e dica para prova (rápido e motivador).
  • A fórmula-chave que você deve memorizar para situações parecidas é
DP_n=\dfrac{k_p\,[M]}{k_{\text{desativação}} + k_{\text{transfer}}\,[M]},çã
onde k_{\text{desativação}}çã é um termo com unidade \mathrm{s^{-1}} (aqui k_r) e k_{\text{transfer}} tem unidade \mathrm{dm^{3}\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Se esquecer, pense sempre: “crescimento por segundo por cadeia” dividido por “probabilidade por segundo de parar” dá o número médio de monômeros incorporados antes de parar — é intuitivo e útil na hora da prova.
  • Bom trabalho — manda mais exercícios que eu te mostro passo a passo!

Resposta

M_n \approx 5{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}

Exercícios relacionados