Uma estrela de nêutrons típica pode ter massa igual a do Sol, mas raio de apenas 10,0 Km. Quão rápido um objeto iria se mover se ele caísse do repouso a uma distância de 1,20 m nesta estrela?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma estrela de nêutrons que tem a mesma massa do Sol, mas um raio super pequeno de apenas 10,0 km. A pergunta é: se um objeto começa parado a 1,20 m dessa estrela e cai até ela, quão rápido ele vai estar se movendo quando chegar? Vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial gravitacional. Quando um objeto está num campo gravitacional, ele tem energia potencial devido à posição dele em relação a outra massa. A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional (
) - $ M $ é a massa da estrela de nêutrons (igual à massa do Sol,
) - $ m $ é a massa do objeto que está caindo
- $ r $ é a distância entre o centro da estrela e o objeto
Passo 3
Quando o objeto cai de uma certa altura até a superfície da estrela, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética ($ K $). A energia cinética é dada por:
Onde $ v $ é a velocidade que queremos descobrir.
Passo 4
Vamos igualar a variação da energia potencial à energia cinética adquirida:
Aqui:
- $ R $ é o raio da estrela (10,0 km =
) - $ h $ é a altura inicial (1,20 m)
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $ (a massa do objeto cancela):
Agora, isolamos $ v $:
Passo 6
Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, calculamos a diferença das frações:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula da velocidade:
Primeiro, multiplicamos os números:
Então:
Resposta
O objeto atingiria uma velocidade de aproximadamente
ao cair 1,20 m na estrela de nêutrons.