Uma estrela de nêutrons típica pode ter massa igual a do Sol, mas raio de apenas 10,0 Km. Quão rápido um objeto iria se mover se ele caísse do repouso a uma distância de 1,20 m nesta estrela?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma estrela de nêutrons que tem a mesma massa do Sol, mas um raio super pequeno de apenas 10,0 km. A pergunta é: se um objeto começa parado a 1,20 m dessa estrela e cai até ela, quão rápido ele vai estar se movendo quando chegar? Vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial gravitacional. Quando um objeto está num campo gravitacional, ele tem energia potencial devido à posição dele em relação a outra massa. A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
U = -G cdot M cdot mr
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ( G )
  • $ M $ é a massa da estrela de nêutrons (igual à massa do Sol, 6,674 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2)
  • $ m $ é a massa do objeto que está caindo
  • $ r $ é a distância entre o centro da estrela e o objeto

Passo 3

Quando o objeto cai de uma certa altura até a superfície da estrela, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética ($ K $). A energia cinética é dada por:
K
Onde $ v $ é a velocidade que queremos descobrir.

Passo 4

Vamos igualar a variação da energia potencial à energia cinética adquirida:
De
G cdot M cdot mR - G cdot M cdot mR - h = 12 m v^2
Aqui:
  • $ R $ é o raio da estrela (10,0 km = R )
  • $ h $ é a altura inicial (1,20 m)

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $ (a massa do objeto cancela):
m
Agora, isolamos $ v $:
G cdot M ( 1R - h - 1R ) = 12 v^2
v

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
G = 6,674 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2
M = 1,989 times 10^30 , kg
R = 10.000 , m
h = 1,20 , m
Primeiro, calculamos a diferença das frações:
1R - h - 1R = 110.000 - 1,20 - 110.000
= 19.998,8 - 110.000
approx 1,00012 times 10^-4 - 1,00000 times 10^-4
= 1,2 times 10^-8 , m^-1

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da velocidade:
v = raiz2 cdot 6,674 times 10^-11 cdot 1,989 times 10^30 cdot 1,2 times 10^-8
Primeiro, multiplicamos os números:
2 cdot 6,674 times 10^-11 = 1,3348 times 10^-10
1,3348 times 10^-10 cdot 1,989 times 10^30 = 2,655 times 10^20
2,655 times 10^20 cdot 1,2 times 10^-8 = 3,186 times 10^12
Então:
v = raiz3,186 times 10^12
v approx 1,785 times 10^6 , m/s

Resposta

O objeto atingiria uma velocidade de aproximadamente 1,8 times 10^6 , m/s ao cair 1,20 m na estrela de nêutrons.

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