Para a estrutura cristalina HC , mostre que a razão c/a ideal vale 1,633. Além disso, mostre que o fator de empacotamento atômico para essa estrutura cristalina vale 0,74 .

Passo 1

Beleza, primeiro vamos resumir o que a gente tem: o exercício quer duas coisas pra estrutura hexagonal compacta (hcp):
  1. mostrar que a razão c/a ideal vale 1,633;
  2. mostrar que o fator de empacotamento atômico (APF) vale 0,74.
Conteúdo: cristalografia e empacotamento de esferas.
O que precisamos:
  • Geometria de um tetraedro regular (pra achar a altura entre camadas).
  • Volume da célula unitária (base hexagonal × altura).
  • Contagem de átomos por célula e volume de cada átomo (esfera de raio r).

Passo 2

Vamos achar c/a usando o tetraedro que liga 3 átomos da camada A e 1 átomo da camada B logo acima.
  1. Num tetraedro regular de aresta a, a altura h (do centro da base ao vértice) é
h ;=;raiztfrac23;a
  1. Em hcp, essa altura h corresponde à metade da altura da célula, ou seja
$$
\frac{c}{2}=h=\sqrt{\tfrac23},a
\quad\Longrightarrow\quad
c =2\sqrt{\tfrac23},a = \sqrt{\tfrac{8}{3}};a \approx1{,}633,a.
$$

Passo 3

Agora o APF = (volume total das esferas na célula) / (volume da célula).
  1. Número de átomos na célula convencional hcp = 6.
  2. Cada átomo é uma esfera de raio r=a/2, logo
Vrm átomo=tfrac43pi,r^3=tfrac43pil(tfraca2r)^3 á
  1. A célula tem base hexagonal de área
Arm base=tfrac3raiz32,a^2,
e altura c, então
Vrm célula=Arm basetimes c=tfrac3raiz32,a^2;c é

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula do APF e usando c=raiz8/3,a:
APF =6;times;tfrac43pil(tfraca2r)^3 tfrac3raiz32,a^2;times;raiztfrac83,a =pi3raiz2approx0,740

Resposta

c/a ideal = 1,633
APF = 0,74

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