Para a estrutura cristalina HC , mostre que a razão c/a ideal vale 1,633. Além disso, mostre que o fator de empacotamento atômico para essa estrutura cristalina vale 0,74 .
Passo 1
Beleza, primeiro vamos resumir o que a gente tem: o exercício quer duas coisas pra estrutura hexagonal compacta (hcp):
- mostrar que a razão
ideal vale 1,633; - mostrar que o fator de empacotamento atômico (APF) vale 0,74.
Conteúdo: cristalografia e empacotamento de esferas.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Geometria de um tetraedro regular (pra achar a altura entre camadas).
- Volume da célula unitária (base hexagonal × altura).
- Contagem de átomos por célula e volume de cada átomo (esfera de raio
).
Passo 2
Vamos achar
usando o tetraedro que liga 3 átomos da camada A e 1 átomo da camada B logo acima.
- Num tetraedro regular de aresta
, a altura (do centro da base ao vértice) é
- Em hcp, essa altura
corresponde à metade da altura da célula, ou seja
$$
\frac{c}{2}=h=\sqrt{\tfrac23},a
\quad\Longrightarrow\quad
c =2\sqrt{\tfrac23},a = \sqrt{\tfrac{8}{3}};a \approx1{,}633,a.
\frac{c}{2}=h=\sqrt{\tfrac23},a
\quad\Longrightarrow\quad
c =2\sqrt{\tfrac23},a = \sqrt{\tfrac{8}{3}};a \approx1{,}633,a.
$$
Passo 3
Agora o APF = (volume total das esferas na célula) / (volume da célula).
- Número de átomos na célula convencional hcp = 6.
- Cada átomo é uma esfera de raio
, logo
- A célula tem base hexagonal de área
e altura
, então
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula do APF e usando
:
Resposta
c/a ideal = 1,633
APF = 0,74
APF = 0,74