A Estrutura de madeira de \mathbf{b} \mathbf{X} \mathbf{t}, sendo \mathbf{b} \boldsymbol{=} \mathbf{1 2 6} \mathbf{~ m m} e \mathbf{t} \boldsymbol{=} \mathbf{9 8} mm está suspensa por uma corrente de aço. Sabendo que a tensão normal admissível da madeira é \sigma_{\text {adm }}=\mathbf{5 2 1 ~ k P a} na direção das fibras, que formam um ângulo de \mathbf{4 7 , 4 ^ { \circ }} com a seção transversal.
Determine:
a) A intensidade da força \mathbf{F} que pode ser aplicada na madeira em \mathbf{N}.
b) A tensão de cisalhamento correspondente em \mathbf{k P a}.

Passo 1

O enunciado dá uma seção transversal de madeira de largura b = 126 mm e espessura t = 98 mm, com fibras que formam um ângulo \theta = 47,4^\circ em relação à seção. A tensão normal admissível na direção das fibras é \sigma_{\text{adm}} = 521 kPa. Vamos aplicar transformações de tensão para determinar a força máxima F e a tensão de cisalhamento correspondente.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal:
A = b \times t = 126\text{ mm} \times 98\text{ mm} = 12348\text{ mm}^2.

Passo 3

Para que a tensão na direção das fibras não ultrapasse \sigma_{\text{adm}}, projetamos a tensão normal \sigma_n = F/A ao longo das fibras:
\sigma_{\text{fibra}} = \sigma_n \cos\theta \le \sigma_{\text{adm}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{F}{A}\cos\theta = \sigma_{\text{adm}}
F = \frac{A\,\sigma_{\text{adm}}}{\cos\theta} = \frac{12348\text{ mm}^2 \times 0,521\text{ N/mm}^2}{\cos(47,4^\circ)} \approx 9507\text{ N}.

Passo 4

A tensão de cisalhamento na “fenda” formada pelas fibras corresponde à componente tangencial da tração \sigma_n no plano das fibras:
\tau = \sigma_n \sin\theta \quad\text{com}\quad \sigma_n = \frac{F}{A} \approx \frac{9507\text{ N}}{12348\text{ mm}^2} = 0,770\text{ N/mm}^2.
Logo,
\tau = 0,770\text{ N/mm}^2 \times \sin(47,4^\circ) \approx 0,567\text{ N/mm}^2 = 567\text{ kPa}.

Resposta

a) F \approx 9507\text{ N}.
b) \tau \approx 567\text{ kPa}.

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