Uma bola “A” é chutada com uma * velocidade " v " e com uma ângulo teta com a horizontal. Se uma bola “B” é chutada com o mesmo ângulo, mas com uma velocidade de " 2 v ", qual é a razão entre a distância alcançada pela bola " B " e a distância alcançada pela bola “A”?
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Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que se pede:
  • Uma bola “A” é lançada com velocidade inicial \\ v\ formando um ângulo \\ \theta\ com a horizontal.
  • Uma bola “B” é lançada com o mesmo ângulo \\ \theta\, mas com velocidade inicial \\\ 2v\.
  • Pergunta: qual é a razão entre a distância alcançada pela bola “B” e a distância alcançada pela bola “A”? Ou seja, calcular \dfrac{R_B}{R_A}, onde \\ R_A\ e \\ R_B\ são os alcances horizontais de A e B respectivamente.
Informações implícitas que iremos usar (aceitas no enunciado típico deste tipo de problema):
  • Lançamento e aterrissagem ocorrem na mesma altura (mesmo nível do solo).
  • Não há resistência do ar.
  • A aceleração da gravidade é \\ g\ (constante, dirigida para baixo).

Passo 2

Entendendo como decompor a velocidade e o que é alcance:
Quando um corpo é lançado com velocidade inicial \\ v\ e ângulo \\ \theta\, é útil separar a velocidade em componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal (constante ao longo do movimento, sem resistência do ar):
v_x = v\cos\theta
  • Componente vertical (varia por causa da gravidade):
v_y = v\sin\theta
Expliquei: \\ v_x\ é a velocidade que “empurra” o projétil ao longo do chão; \\ v_y\ é a velocidade que sobe inicialmente contra a gravidade.
Para a bola B (velocidade \\\ 2v\), as componentes são:
v_{x,B} = 2v\cos\theta,\qquad v_{y,B} = 2v\sin\theta.

Passo 3

Tempo de voo total (ideia e derivação):
O alcance horizontal R é dado por
R = v_x \cdot T,
onde \\ T\ é o tempo total de voo (tempo entre lançamento e retorno à mesma altura). Vamos achar T usando a componente vertical.
Equação do movimento vertical (origem no ponto de lançamento, desprezando resistência do ar):
y(t) = v_y t - \tfrac{1}{2} g t^2.
O corpo retorna ao solo quando y(t)=0. Isso dá:
0 = v_y t - \tfrac{1}{2} g t^2 = t\bigl(v_y - \tfrac{1}{2} g t\bigr).
As soluções são t=0 (lançamento) e
t = \frac{2 v_y}{g}.
Portanto o tempo de voo total é
T = \frac{2 v_y}{g}.

Passo 4

Aplicando para a bola A:
Substituindo \\ v_y = v\sin\theta\ na fórmula do tempo:
T_A = \frac{2 v\sin\theta}{g}.
O alcance de A é
R_A = v_x \, T_A = (v\cos\theta)\left(\frac{2 v\sin\theta}{g}\right) = \frac{2 v^2 \sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \\\ 2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)\, obtemos a forma clássica:
R_A = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}.
Expliquei: essa fórmula mostra que o alcance cresce com o quadrado da velocidade inicial e depende do ângulo através de \sin(2\theta).

Passo 5

Aplicando para a bola B (velocidade \\\ 2v\):
Pela mesma dedução, trocando v por 2v,
R_B = \frac{(2v)^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{4 v^2 \sin(2\theta)}{g}.

Passo 6

Calculando a razão pedida: \dfrac{R_B}{R_A}. Substituindo as expressões encontradas:
\frac{R_B}{R_A} = \frac{\dfrac{4 v^2 \sin(2\theta)}{g}}{\dfrac{v^2 \sin(2\theta)}{g}}.
Cancelando os fatores iguais ( v^2, \sin(2\theta) e g) obtemos a razão.

Resposta

4

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