Uma bola “A” é chutada com uma * velocidade " v " e com uma ângulo teta com a horizontal. Se uma bola “B” é chutada com o mesmo ângulo, mas com uma velocidade de " 2 v ", qual é a razão entre a distância alcançada pela bola "
" e a distância alcançada pela bola “A”?
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que se pede:
- Uma bola “A” é lançada com velocidade inicial
formando um ângulo com a horizontal. - Uma bola “B” é lançada com o mesmo ângulo
, mas com velocidade inicial . - Pergunta: qual é a razão entre a distância alcançada pela bola “B” e a distância alcançada pela bola “A”? Ou seja, calcular
, onde e são os alcances horizontais de e respectivamente.
Informações implícitas que iremos usar (aceitas no enunciado típico deste tipo de problema):
- Lançamento e aterrissagem ocorrem na mesma altura (mesmo nível do solo).
- Não há resistência do ar.
- A aceleração da gravidade é
(constante, dirigida para baixo).
Passo 2
Entendendo como decompor a velocidade e o que é alcance:
Quando um corpo é lançado com velocidade inicial e ângulo
, é útil separar a velocidade em componentes horizontal e vertical:
Quando um corpo é lançado com velocidade inicial
- Componente horizontal (constante ao longo do movimento, sem resistência do ar):
- Componente vertical (varia por causa da gravidade):
Expliquei:
é a velocidade que “empurra” o projétil ao longo do chão;
é a velocidade que sobe inicialmente contra a gravidade.
Para a bola
(velocidade
), as componentes são:
Passo 3
Tempo de voo total (ideia e derivação):
O alcance horizontal é dado por
O alcance horizontal
onde
é o tempo total de voo (tempo entre lançamento e retorno à mesma altura). Vamos achar
usando a componente vertical.
Equação do movimento vertical (origem no ponto de lançamento, desprezando resistência do ar):
O corpo retorna ao solo quando
. Isso dá:
As soluções são
(lançamento) e
Portanto o tempo de voo total é
Passo 4
Aplicando para a bola
:
Substituindo na fórmula do tempo:
Substituindo
O alcance de
é
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica:
Expliquei: essa fórmula mostra que o alcance cresce com o quadrado da velocidade inicial e depende do ângulo através de
.
Passo 5
Aplicando para a bola
(velocidade
):
Pela mesma dedução, trocando por
,
Pela mesma dedução, trocando
Passo 6
Calculando a razão pedida:
. Substituindo as expressões encontradas:
Cancelando os fatores iguais (
,
e
) obtemos a razão.