Um estudante tentou combinar as leis de Boyle e de Charles da seguinte maneira: “Temos que p V=K_{1} \mathrm{e} V / T=K_{2}. Iguais multiplicados por iguais são iguais; multiplicando as duas constantes temos que p V^{2} / T=K_{1} K_{2}, sendo que o produto de duas constantes deve ser outra constante. Dessa forma, p V^{2} / T é uma constante para uma quantidade fixa de gás ideal”. Qual é a falácia neste raciocínio?

Passo 1

O enunciado apresenta duas relações experimentais usadas pelo estudante e pede que identifiquemos a falácia no raciocínio. As informações dadas são:
pV=K_{1}
\frac{V}{T}=K_{2}
O estudante multiplicou as duas igualdades e concluiu que
\frac{pV^{2}}{T}=K_{1}K_{2},
e então afirmou que \frac{pV^{2}}{T} é uma constante para uma quantidade fixa de gás ideal. A tarefa é apontar qual é o erro lógico/físico nesse raciocínio.

Passo 2

Primeiro, vamos explicitar uma coisa essencial sobre as duas relações dadas (sem ainda resolver nada): cada uma vale apenas sob uma condição experimental específica.
  • A igualdade \,pV=K_{1}\, é a forma da lei de Boyle e só vale quando a temperatura T (e a quantidade de gás) está fixada.
  • A igualdade \,\dfrac{V}{T}=K_{2}\, é a forma da lei de Charles e só vale quando a pressão p (e a quantidade de gás) está fixada.
    Ou seja, cada igualdade é válida sob restrições diferentes: a primeira exige T constante; a segunda exige p constante.

Passo 3

Agora vou usar a lei do gás ideal para relacionar essas constantes ao que elas realmente dependem e mostrar porque não podem ser simplesmente multiplicadas como se fossem “constantes universais”. A lei do gás ideal é
pV = nRT,
onde n é a quantidade de matéria (moles) e R é a constante universal dos gases. A partir daqui podemos identificar K_{1} e K_{2}:
  • Se pV=K_{1} foi obtido mantendo T fixo, então substituindo pela lei do gás obtemos
K_{1}=nRT.
Portanto K_{1} depende de T (além de n e R) — é constante somente enquanto T for mantida constante.
  • Se \dfrac{V}{T}=K_{2} foi obtido mantendo p fixo, usando a lei do gás V=\dfrac{nRT}{p} obtemos
K_{2}=\frac{V}{T}=\frac{nR}{p}.
Portanto K_{2} depende de p (além de n e R) — é constante somente enquanto p for mantida constante.

Passo 4

Agora multiplico K_{1} por K_{2} explicitando suas dependências:
K_{1}K_{2}=(nRT)\left(\frac{nR}{p}\right)=\frac{n^{2}R^{2}T}{p}.
Vê-se que K_{1}K_{2} depende de T e de p. Logo, o produto K_{1}K_{2} não é, em geral, uma constante universal do sistema quando p e T variam; é constante somente em processos muito restritos onde T e p assumem valores específicos.

Passo 5

Explico a falácia lógica de forma direta e simples: a regra “iguais multiplicados por iguais são iguais” só é válida quando as igualdades envolvidas valem simultaneamente para os mesmos estados/condições. No raciocínio do estudante, cada igualdade foi obtida sob uma condição diferente (uma com T fixa, outra com p fixa). Não se pode multiplicar duas relações que foram válidas em experiências distintas e concluir que o resultado vale em qualquer situação do gás.

Passo 6

Dou um exemplo numérico rápido para ver que \dfrac{pV^{2}}{T} não é constante. Tome o caso simples nR=1 (escolha de unidades para ilustrar). Se em um estado p=1, T=1 então V=\dfrac{nRT}{p}=1 e
\frac{pV^{2}}{T}=\frac{1\cdot 1^{2}}{1}=1.
Mude a pressão para p=2 mantendo T=1. Então V=\dfrac{1\cdot 1}{2}=\tfrac{1}{2} e
\frac{pV^{2}}{T}=\frac{2\cdot (\tfrac{1}{2})^{2}}{1}=2\cdot\frac{1}{4}=\tfrac{1}{2}\neq 1.
A quantidade \dfrac{pV^{2}}{T} mudou, mostrando que não é uma constante geral do gás.

Passo 7

Aponto a relação correta que vale para uma quantidade fixa de gás independentemente do processo: pela lei do gás ideal temos
\frac{pV}{T}=nR,
que é a relação que de fato é constante (desde que n seja fixo). Note que o estudante confundiu as condições de validade das leis e por isso obteve a expressão errada \dfrac{pV^{2}}{T}.

Passo 8

Resumo final do erro com uma frase clara: o estudante tratou K_{1} e K_{2} como “constantes universais” independentes e multiplicáveis, quando na verdade cada uma é válida apenas sob condições diferentes (uma depende de T fixo, a outra de p fixo). Multiplicar as igualdades obtidas em condições distintas não produz uma nova lei geral.

Resposta

A falácia é multiplicar igualdades que valem sob condições diferentes: K_{1} e K_{2} não são constantes universais ( K_{1}=nRT depende de T e K_{2}=nR/p depende de p ), logo não se pode concluir que \dfrac{pV^{2}}{T} seja constante; a relação correta para um gás ideal é \dfrac{pV}{T}=nR.

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