Estude a convergência/divergência da sequência:
a_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n}}\

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{\ln(n+1)}{\sqrt{n}} para n\in\mathbb{N} e pede para estudar a convergência/divergência dessa sequência. Ou seja: queremos saber se existe \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}; se existir, qual é esse limite; se não existir, justificar a divergência. As informações relevantes são a fórmula de a_{n} e o comportamento de \ln(n+1) e \sqrt{n} quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos transformar o problema de sequência em um problema de limite de função de variável real, porque fica mais fácil aplicar ferramentas de cálculo. Defino a função
f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}},\qquad x>0,
e vou estudar \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x). Como a_{n}=f(n), se \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L então automaticamente \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L. Essa passagem é válida porque avaliamos f em inteiros e o comportamento assintótico contínuo determina o limite da sequência.

Passo 3

Primeira observação sobre a forma do limite: quando x\to\infty temos \ln(x+1)\to\infty e \sqrt{x}\to\infty. Logo a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty. Uma ferramenta natural para esse caso é a Regra de L’Hôpital (quando aplicável), que permite calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}
passando para o quociente das derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Vou aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro calculemos as derivadas:
  • Derivada do numerador: \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\ln(x+1)\big)=\frac{1}{x+1}.
  • Derivada do denominador: \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Pela Regra de L’Hôpital (forma \infty/\infty),
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x+1}}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}.

Passo 5

Simplificamos o quociente das derivadas:
\frac{\dfrac{1}{x+1}}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{1}{x+1}\cdot\frac{2\sqrt{x}}{1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x+1}.

Passo 6

Agora avaliamos \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x+1}. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por \sqrt{x}:
\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{2}{\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}.
Quando x\to\infty temos \sqrt{x}\to\infty e \dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0, logo o denominador tende a \infty e a fração tende a 0. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=0.

Passo 7

Concluímos que \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0. Como a_{n}=f(n) para inteiros n, segue que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Intuitivamente: a raiz quadrada \sqrt{n} cresce muito mais rápido que o logaritmo \ln(n+1), então a razão vai a zero. (Se preferir, dá para provar por comparação que \ln n cresce mais devagar que qualquer potência n^{\alpha} com \alpha>0, daí o mesmo resultado.)

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

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