Estude a convergência/divergência da sequência:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para estudar a convergência/divergência dessa sequência. Ou seja: queremos saber se existe
; se existir, qual é esse limite; se não existir, justificar a divergência. As informações relevantes são a fórmula de
e o comportamento de
e
quando
.
Passo 2
Vamos transformar o problema de sequência em um problema de limite de função de variável real, porque fica mais fácil aplicar ferramentas de cálculo. Defino a função
e vou estudar
. Como
, se
então automaticamente
. Essa passagem é válida porque avaliamos
em inteiros e o comportamento assintótico contínuo determina o limite da sequência.
Passo 3
Primeira observação sobre a forma do limite: quando
temos
e
. Logo a expressão tem a forma indeterminada
. Uma ferramenta natural para esse caso é a Regra de L’Hôpital (quando aplicável), que permite calcular
passando para o quociente das derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro calculemos as derivadas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Pela Regra de L’Hôpital (forma
),
Passo 5
Simplificamos o quociente das derivadas:
Portanto
Passo 6
Agora avaliamos
. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por
:
Quando
temos
e
, logo o denominador tende a
e a fração tende a
. Assim
Passo 7
Concluímos que
. Como
para inteiros
, segue que
. Intuitivamente: a raiz quadrada
cresce muito mais rápido que o logaritmo
, então a razão vai a zero. (Se preferir, dá para provar por comparação que
cresce mais devagar que qualquer potência
com
, daí o mesmo resultado.)
Resposta
A sequência converge e
.