Calcule os limites abaixo: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão envolve um valor absoluto \left|\,\cdot\,\right|.
O numerador é x^{2}+x.
O denominador é x, o que faz a expressão não estar definida em x=0 (mas podemos tentar o limite quando x se aproxima de 0).
Para limites com valor absoluto, é comum precisar analisar os sinais da expressão dentro do módulo para x vindo pela direita (x\to0^{+}) e pela esquerda (x\to0^{-}).
Passo 2
Vamos entender o valor absoluto e como usá-lo aqui. Definição prática do valor absoluto: para qualquer número real y\),
\[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
No nosso caso y = x^{2}+x\]. Então precisamos saber onde \(x^{2}+x é positivo ou negativo perto de 0. Primeiro fatoramos:
x^{2}+x = x(1+x).
Agora analisamos o sinal de x(1+x) para x próximo de 0:
Se x>0 e pequeno, então 1+x>0, logo x(1+x)>0.
Se -1<x<0 (isto é, x negativo, mas perto de 0), então x<0 enquanto 1+x>0, portanto x(1+x)<0.
Como estamos analisando x\to0, só interessam os sinais em torno de 0: para x>0 o interior do módulo é positivo; para x<0 (pequeno) é negativo.]
Passo 3
Cálculo do limite pela direita (x\to0^{+}). Para x>0 o interior é não negativo, então |x^{2}+x|=x^{2}+x. A expressão fica
\frac{|x^{2}+x|}{x} = \frac{x^{2}+x}{x}.
Agora simplificamos: como x\neq 0 ao tomar o limite, podemos fatorar e cancelar: