Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve um valor absoluto \left|\,\cdot\,\right|.
  • O numerador é x^{2}+x.
  • O denominador é x, o que faz a expressão não estar definida em x=0 (mas podemos tentar o limite quando x se aproxima de 0).
  • Para limites com valor absoluto, é comum precisar analisar os sinais da expressão dentro do módulo para x vindo pela direita ( x\to0^{+}) e pela esquerda ( x\to0^{-}).

Passo 2

Vamos entender o valor absoluto e como usá-lo aqui. Definição prática do valor absoluto: para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
No nosso caso y = x^{2}+x\]. Então precisamos saber onde \(x^{2}+x é positivo ou negativo perto de 0. Primeiro fatoramos:
x^{2}+x = x(1+x).
Agora analisamos o sinal de x(1+x) para x próximo de 0:
  • Se x>0 e pequeno, então 1+x>0, logo x(1+x)>0.
  • Se -1<x<0 (isto é, x negativo, mas perto de 0), então x<0 enquanto 1+x>0, portanto x(1+x)<0.
    Como estamos analisando x\to0, só interessam os sinais em torno de 0: para x>0 o interior do módulo é positivo; para x<0 (pequeno) é negativo.]

Passo 3

Cálculo do limite pela direita ( x\to0^{+}). Para x>0 o interior é não negativo, então |x^{2}+x|=x^{2}+x. A expressão fica
\frac{|x^{2}+x|}{x} = \frac{x^{2}+x}{x}.
Agora simplificamos: como x\neq 0 ao tomar o limite, podemos fatorar e cancelar:
\frac{x^{2}+x}{x} = \frac{x(1+x)}{x} = 1+x.
Tomando limite quando x\to0^{+}:
\lim_{x\to0^{+}} \frac{|x^{2}+x|}{x} = \lim_{x\to0^{+}} (1+x) = 1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to0^{-}). Para x<0 (pequeno), vimos que x^{2}+x<0. Então |x^{2}+x| = -(x^{2}+x). A expressão torna-se
\frac{|x^{2}+x|}{x} = \frac{-(x^{2}+x)}{x} = \frac{-x^{2}-x}{x}.
Novamente x\neq 0, podemos dividir por x:
\frac{-x^{2}-x}{x} = -x - 1.
Tomando limite quando x\to0^{-}:
\lim_{x\to0^{-}} \frac{|x^{2}+x|}{x} = \lim_{x\to0^{-}} (-x-1) = -1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral (do enunciado). Como os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to0^{+}} \frac{|x^{2}+x|}{x} = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^{-}} \frac{|x^{2}+x|}{x} = -1,
o limite \lim_{x\to0} \frac{|x^{2}+x|}{x} não existe (não há um único valor).

Resposta

\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x^{2}+x|}{x}=-1
\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x^{2}+x|}{x}=1
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|x^{2}+x|}{x} não existe

Exercícios relacionados