1. Estude a convergência da sequência a_{n}=\frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}} para p>0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{1^{p} + 2^{p} + \cdots + n^{p}}{n^{p+1}}
para um parâmetro p>0, e pede para estudar sua convergência (isto é, ver se (a_{n}) tem limite quando n\to\infty, e qual é esse limite). Vamos usar a ideia de soma de Riemann para funções contínuas no intervalo [0,1].

Passo 2

Note que podemos reescrever o numerador dividindo e multiplicando por n^{p}:
a_{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{p}}{n^{p}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{k}{n}\Bigr)^{p}.
Dessa forma, a_{n} fica exatamente na forma de uma soma de Riemann para a função f(x)=x^{p} no intervalo [0,1].

Passo 3

Pela definição de soma de Riemann à direita em [0,1], temos
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\bigl(x_{k}\bigr) \longrightarrow \int_{0}^{1}f(x)\,dx \quad\text{quando }n\to\infty,
onde x_{k}=k/n. Aqui f(x)=x^{p} é contínua em [0,1], logo
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{k}{n}\Bigr)^{p} \;\longrightarrow\; \int_{0}^{1}x^{p}\,dx.

Passo 4

Basta calcular a integral
\int_{0}^{1}x^{p}\,dx = \biggl[\frac{x^{p+1}}{p+1}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1^{p+1}}{p+1} - 0 = \frac{1}{p+1}.

Passo 5

Concluímos que
a_{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{k}{n}\Bigr)^{p} \;\longrightarrow\; \frac{1}{p+1} \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto, a sequência (a_{n}) converge para \tfrac{1}{p+1}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \dfrac{1}{p+1}.

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