- Aplicação Física: Uma bola é solta de uma altura de 10 m . A cada quique, ela atinge
da altura anterior. Seja
a altura após
quiques.
(a) Encontre uma fórmula para
.
(b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
(c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?
(a) Encontre uma fórmula para
(b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
(c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?
Passo 1
O enunciado trata de uma bola solta de
m que, a cada quique, atinge
da altura anterior. Definimos
como a altura alcançada imediatamente após o
-ésimo quique. O conteúdo necessário envolve sequência geométrica e soma de série geométrica infinita.
Passo 2
Para achar uma fórmula geral de
, note que na primeira queda a bola sai de
m e, após o primeiro quique, atinge
Depois do segundo quique, ela atinge
e assim por diante. Logo, para todo
vale
Passo 3
Como
, a sequência geométrica
converge para zero quando
. Formalmente,
Passo 4
Para calcular a distância total percorrida quando o número de quiques tende ao infinito, somamos:
- A queda inicial de
m. - Depois de cada quique
, ela sobe e desce .
Assim, a distância total é
Como
vem
Resposta
(a)
(b) A sequência converge e
(c) A distância total percorrida é m.
(b) A sequência converge e
(c) A distância total percorrida é