Estude a convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n!}{1.3 .5 \ldots(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1)}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1)}.
  • O produto do denominador é o produto de todos os inteiros ímpares de 1 até 2n+1.
  • Preciso dizer se a série converge, e que tipo de convergência (absoluta, condicional) quando for o caso.

Passo 2

Primeiro eu simplifico a escrita do denominador usando a noção de double factorial (fatoriais duplos). Defino
(2n+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1),
ou seja, (2n+1)!! é exatamente o produto de todos os ímpares até 2n+1. Assim o termo geral fica
a_n = \frac{(-1)^{n} n!}{(2n+1)!!}.
Agora uso uma relação útil entre o fatorial comum e o double factorial: multiplicando todos os fatores de 1 até 2n+1 separo números pares e ímpares:
(2n+1)! = \big(1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1)\big)\cdot \big(2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n\big).
O segundo produto pode ser escrito como 2^n n!, porque 2\cdot4\cdot6\cdots 2n = 2^n(1\cdot2\cdot3\cdots n)=2^n n!. Portanto
(2n+1)! = (2n+1)!! \cdot 2^n n!,
o que implica
(2n+1)!! = \frac{(2n+1)!}{2^n n!}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no termo a_n temos:
a_n = \frac{(-1)^n n!}{(2n+1)!!} = (-1)^n n!\cdot \frac{2^n n!}{(2n+1)!}.
Logo
a_n = (-1)^n \frac{2^n (n!)^2}{(2n+1)!}.
Uma outra forma, usando o coeficiente binomial \displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}, é
a_n = (-1)^n \frac{2^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}}.
Essas formas são úteis para estimar o tamanho de |a_n|.

Passo 4

Decido testar a convergência absoluta primeiro (ou seja, estudar \sum |a_n|). Se a série dos valores absolutos convergir, então a série original converge absolutamente (e portanto converge). Um teste simples e adequado aqui é o teste da razão (ratio test), que é prático com fatoriais.
Lembrete do teste da razão (explicado de um jeito rápido): para uma série com termos positivos b_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L<1, então \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aplicarei o teste da razão a b_n=|a_n|.

Passo 5

Calculo a razão entre termos consecutivos para b_n=|a_n|. Usando a forma com fatoriais:
b_n = \frac{2^n (n!)^2}{(2n+1)!}.
Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}((n+1)!)^2/(2n+3)!}{2^n (n!)^2/(2n+1)!} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{(2n+3)(2n+2)}.
Agora simplifico passo a passo:
(2n+3)(2n+2)=2( n+1)(2n+3),
portanto
\frac{b_{n+1}}{b_n} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+3)} =\frac{n+1}{2n+3}.
Agora eu tiro o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}.
Como esse limite vale \tfrac{1}{2}<1, pelo teste da razão a série \sum b_n=\sum |a_n| converge.

Passo 6

Como \sum_{n=1}^\infty |a_n| converge, a série original \sum_{n=1}^\infty a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples também, então não há apenas convergência condicional — é mais forte: absolutamente convergente.
Para dar um pouco de intuição numérica: de forma assintótica usa-se \binom{2n}{n}\sim \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}, o que leva a |a_n|\sim \text{const}\cdot \dfrac{(1/2)^n}{\sqrt{n}}. Ou seja, os termos caem geometricamente com fator \tfrac{1}{2} multiplicado por um fator polinomial fraco, o que explica por que a soma dos módulos converge — é dominada por uma sequência geométrica.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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