Estude a convergência da série:
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral é
. - O produto do denominador é o produto de todos os inteiros ímpares de
até . - Preciso dizer se a série converge, e que tipo de convergência (absoluta, condicional) quando for o caso.
Passo 2
Primeiro eu simplifico a escrita do denominador usando a noção de double factorial (fatoriais duplos). Defino
ou seja,
é exatamente o produto de todos os ímpares até
. Assim o termo geral fica
Agora uso uma relação útil entre o fatorial comum e o double factorial: multiplicando todos os fatores de
até
separo números pares e ímpares:
O segundo produto pode ser escrito como
, porque
. Portanto
o que implica
Passo 3
Substituindo essa expressão no termo
temos:
Logo
Uma outra forma, usando o coeficiente binomial
, é
Essas formas são úteis para estimar o tamanho de
.
Passo 4
Decido testar a convergência absoluta primeiro (ou seja, estudar
). Se a série dos valores absolutos convergir, então a série original converge absolutamente (e portanto converge). Um teste simples e adequado aqui é o teste da razão (ratio test), que é prático com fatoriais.
Lembrete do teste da razão (explicado de um jeito rápido): para uma série com termos positivos
, se
existe e
, então
converge; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
Aplicarei o teste da razão a
.
Passo 5
Calculo a razão entre termos consecutivos para
. Usando a forma com fatoriais:
Então
Agora simplifico passo a passo:
portanto
Agora eu tiro o limite quando
:
Como esse limite vale
, pelo teste da razão a série
converge.
Passo 6
Como
converge, a série original
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples também, então não há apenas convergência condicional — é mais forte: absolutamente convergente.
Para dar um pouco de intuição numérica: de forma assintótica usa-se
, o que leva a
. Ou seja, os termos caem geometricamente com fator
multiplicado por um fator polinomial fraco, o que explica por que a soma dos módulos converge — é dominada por uma sequência geométrica.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).