Calcule a soma da série:
\sum_{n=2}^{\infty} 5^{-(n+1)} \ln \left(\frac{n^{5}}{n+1}\right)
Sugestão: \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln a^{b}=b \ln a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty} 5^{-(n+1)} \ln\!\left(\frac{n^{5}}{n+1}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • O somando é 5^{-(n+1)} \ln\!\left(\dfrac{n^{5}}{n+1}\right) para n=2,3,\dots.
  • Foi sugerido usar as propriedades dos logaritmos \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln a^{b}=b\ln a.
  • A série é infinita; teremos que manipular os termos e verificar (ou justificar) convergência quando necessário para usar separação de somas e mudanças de índice.

Passo 2

Vamos aplicar as propriedades dos logaritmos dentro do somando. Usando \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln a^{b}=b\ln a com a=n e b=5, obtemos:
\ln\!\left(\frac{n^{5}}{n+1}\right)=\ln(n^{5})-\ln(n+1)=5\ln n-\ln(n+1).
Aqui eu usei explicitamente que \ln(n^{5})=5\ln n. Isso transforma o somando original em uma combinação linear de \ln n e \ln(n+1).

Passo 3

Multiplicando pela constante 5^{-(n+1)} que estava fora do logaritmo, obtemos para cada n:
5^{-(n+1)}\ln\!\left(\frac{n^{5}}{n+1}\right)=5^{-(n+1)}\big(5\ln n-\ln(n+1)\big).
Agora distribuímos:
5^{-(n+1)}\cdot 5\ln n - 5^{-(n+1)}\ln(n+1).
Simplificando o fator 5\cdot 5^{-(n+1)} usando as propriedades de potências, 5\cdot 5^{-(n+1)}=5^{-n}. Portanto cada termo vira
5^{-n}\ln n - 5^{-(n+1)}\ln(n+1).

Passo 4

Podemos trocar a soma do somando (linearidade da soma) e escrever a série como diferença de duas séries:
\sum_{n=2}^{\infty}\big(5^{-n}\ln n\big)\;-\;\sum_{n=2}^{\infty}\big(5^{-(n+1)}\ln(n+1)\big).
Antes de manipular índices, justifique rapidamente a separação: cada termo tem fator 5^{-n} ou 5^{-(n+1)} que decai geometricamente, e \ln n cresce muito mais devagar; assim os termos são dominados por uma série geométrica (podemos usar, por exemplo, que \ln n < n para n\ge 2 e que \sum n\cdot 5^{-n} converge). Logo ambas as séries convergem absolutamente e podemos separar e reindexar sem problema.

Passo 5

Reescrevemos a segunda soma trocando o índice para que os expoentes de 5 e os argumentos do \ln fiquem comparáveis. Façamos a mudança de variável m=n+1. Quando n vai de 2 até \infty, então m vai de 3 até \infty. A segunda soma fica:
\sum_{n=2}^{\infty}5^{-(n+1)}\ln(n+1)=\sum_{m=3}^{\infty}5^{-m}\ln m.
A primeira soma, apenas trocando nome de índice para ficar uniforme, é
\sum_{n=2}^{\infty}5^{-n}\ln n=\sum_{m=2}^{\infty}5^{-m}\ln m.

Passo 6

Agora subtraímos as duas somas:
\sum_{m=2}^{\infty}5^{-m}\ln m \;-\; \sum_{m=3}^{\infty}5^{-m}\ln m.
Observando os índices, todas as parcelas com m\ge 3 aparecem nas duas somas e se cancelam; sobra apenas o termo com m=2 que está presente somente na primeira soma. Portanto a soma total reduz-se ao termo m=2:
5^{-2}\ln 2.
Calculemos 5^{-2}: 5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}. Assim a expressão simplificada é \dfrac{1}{25}\ln 2.

Resposta

\dfrac{1}{25}\ln 2

Exercícios relacionados