Calcule a soma da série:
Sugestão:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Informações dadas e observações imediatas:
- O somando é
para . - Foi sugerido usar as propriedades dos logaritmos
e . - A série é infinita; teremos que manipular os termos e verificar (ou justificar) convergência quando necessário para usar separação de somas e mudanças de índice.
Passo 2
Vamos aplicar as propriedades dos logaritmos dentro do somando. Usando
e
com
e
, obtemos:
Aqui eu usei explicitamente que
. Isso transforma o somando original em uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Multiplicando pela constante
que estava fora do logaritmo, obtemos para cada
:
Agora distribuímos:
Simplificando o fator
usando as propriedades de potências,
. Portanto cada termo vira
Passo 4
Podemos trocar a soma do somando (linearidade da soma) e escrever a série como diferença de duas séries:
Antes de manipular índices, justifique rapidamente a separação: cada termo tem fator
ou
que decai geometricamente, e
cresce muito mais devagar; assim os termos são dominados por uma série geométrica (podemos usar, por exemplo, que
para
e que
converge). Logo ambas as séries convergem absolutamente e podemos separar e reindexar sem problema.
Passo 5
Reescrevemos a segunda soma trocando o índice para que os expoentes de
e os argumentos do
fiquem comparáveis. Façamos a mudança de variável
. Quando
vai de
até
, então
vai de
até
. A segunda soma fica:
A primeira soma, apenas trocando nome de índice para ficar uniforme, é
Passo 6
Agora subtraímos as duas somas:
Observando os índices, todas as parcelas com
aparecem nas duas somas e se cancelam; sobra apenas o termo com
que está presente somente na primeira soma. Portanto a soma total reduz-se ao termo
:
Calculemos
:
. Assim a expressão simplificada é
.