Estude os extremos relativos da seguinte função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente estude os extremos relativos.
Informações relevantes que já temos (direto do enunciado):
é um polinômio em
e
(logo tem derivadas parciais em todo
).
Perguntas que vamos responder: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações relevantes que já temos (direto do enunciado):
Perguntas que vamos responder: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Definição prática que vamos usar: ponto crítico é um ponto onde as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero (ou não existem). Como [,f) é polinomial, as derivadas existem sempre, então procuramos resolver o sistema
.
Calculemos as derivadas parciais:
Agora resolvemos o sistema
Da segunda equação obtemos diretamente
Substituindo (y=x] na primeira equação:
Portanto as soluções são
ou
. Como
, os pontos críticos são
Passo 3
Agora vamos classificar esses pontos com o teste das derivadas segundas (teste da Hessiana para duas variáveis). Primeiro a ideia: aproximamos
perto de um ponto crítico por um polinômio quadrático com coeficientes dados pelas derivadas segundas; a natureza desse quadrático diz se é mínimo, máximo ou sela.
As derivadas segundas são:
Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto como
Regras de classificação:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 4
Avaliação em
:
Calcule
em
:
Então
Conclusão: como
, o ponto
é um ponto de sela. (Interpretação: nas direções certas a função sobe, em outras desce.)
Passo 5
Avaliação em
:
Calcule
nesse ponto:
Então
Como
e
, isso indica que
é um máximo local.
Vamos também calcular o valor da função nesse ponto (útil para a prova):
Calculando passo a passo:
Colocando tudo sobre
:
Portanto o máximo local vale
.
Passo 6
Resumo e interpretação final (leva esperança: você já chegou até aqui!): encontramos dois pontos críticos. Um é ponto de sela
— não é extremo — e o outro é um máximo local em
com valor
. Isso foi feito usando derivadas parciais, resolvendo o sistema gradiente zero e aplicando o teste das derivadas segundas.