Estude os extremos relativos da seguinte função f(x, y)=4 x y-x^{3}-2 y^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=4xy-x^{3}-2y^{2}+1\, e pede que a gente estude os extremos relativos.
Informações relevantes que já temos (direto do enunciado):
\,f é um polinômio em x e y (logo tem derivadas parciais em todo \mathbb{R}^2).
Perguntas que vamos responder: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Definição prática que vamos usar: ponto crítico é um ponto onde as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero (ou não existem). Como [,f) é polinomial, as derivadas existem sempre, então procuramos resolver o sistema \nabla f=(0,0).
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=4y-3x^{2}
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=4x-4y
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 4y-3x^{2}=0\\[4pt] 4x-4y=0 \end{cases}
Da segunda equação obtemos diretamente
4x-4y=0\quad\Rightarrow\quad y=x.
Substituindo (y=x] na primeira equação:
4x-3x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x(4-3x)=0.
Portanto as soluções são x=0 ou x=\dfrac{4}{3}. Como y=x, os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad\Bigl(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\Bigr).]

Passo 3

Agora vamos classificar esses pontos com o teste das derivadas segundas (teste da Hessiana para duas variáveis). Primeiro a ideia: aproximamos \,f perto de um ponto crítico por um polinômio quadrático com coeficientes dados pelas derivadas segundas; a natureza desse quadrático diz se é mínimo, máximo ou sela.
As derivadas segundas são:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-6x,
f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=4,
f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-4.
Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto como
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
Regras de classificação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 4

Avaliação em (0,0):
Calcule f_{xx},f_{xy},f_{yy} em (0,0):
f_{xx}(0,0)=-6\cdot 0=0,\qquad f_{xy}(0,0)=4,\qquad f_{yy}(0,0)=-4.
Então
D(0,0)=0\cdot(-4)-4^{2}=-16<0.
Conclusão: como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela. (Interpretação: nas direções certas a função sobe, em outras desce.)

Passo 5

Avaliação em \Bigl(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\Bigr):
Calcule f_{xx},f_{xy},f_{yy} nesse ponto:
f_{xx}\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right)=-6\cdot \tfrac{4}{3}=-8, \qquad f_{xy}=4, \qquad f_{yy}=-4.
Então
D\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right)=(-8)\cdot(-4)-4^{2}=32-16=16>0.
Como D>0 e f_{xx}=-8<0, isso indica que \Bigl(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\Bigr) é um máximo local.
Vamos também calcular o valor da função nesse ponto (útil para a prova):
f\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right)=4\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{4}{3}-\left(\tfrac{4}{3}\right)^{3}-2\left(\tfrac{4}{3}\right)^{2}+1.
Calculando passo a passo:
4\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{64}{9},\qquad \left(\tfrac{4}{3}\right)^{3}=\tfrac{64}{27},\qquad 2\left(\tfrac{4}{3}\right)^{2}=2\cdot\tfrac{16}{9}=\tfrac{32}{9}.
Colocando tudo sobre 27:
f\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right)=\frac{192}{27}-\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{27}{27}=\frac{59}{27}.
Portanto o máximo local vale \dfrac{59}{27}.

Passo 6

Resumo e interpretação final (leva esperança: você já chegou até aqui!): encontramos dois pontos críticos. Um é ponto de sela (0,0) — não é extremo — e o outro é um máximo local em \Bigl(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\Bigr) com valor \dfrac{59}{27}. Isso foi feito usando derivadas parciais, resolvendo o sistema gradiente zero e aplicando o teste das derivadas segundas.

Resposta

(0,0): ponto de sela
\Bigl(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\Bigr): máximo local, com valor \dfrac{59}{27}

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