Usando a regra de cadeia determine
, na seguinte função:
Passo 1
O problema pede que eu determine
para a função
com as relações
Ou seja, todas as variáveis
são funções de
(direta ou indiretamente) e preciso calcular a derivada total de
em relação a
.
Passo 2
Estratégia: como
depende de
e cada uma dessas depende de
, uso a regra da cadeia na forma da derivada total
Antes de aplicar, vou calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
Passo 3
Calculo das parciais de
. Como
:
Explicação rápida: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
; e de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora preciso de
. Primeiro calculo
e
, que aparecem em várias partes.
Temos
. Usando a regra da cadeia (derivada de
vezes derivada do argumento):
Temos
. Derivada de
é
, logo
Passo 5
Com
e
posso achar
e
.
Como
,
Como
(log natural), usando
,
Lembre que
, então mais adiante substituirei.
Passo 6
Agora falta
com
. Para derivar
onde tanto a base
quanto o expoente
dependem de
, uso a técnica padrão: escrevo
e derivo:
Como
, obtemos
Essa é uma fórmula muito útil: para
,
Passo 7
Agora substituo todas as peças na fórmula da derivada total
Substituindo
,
e
que encontramos:
Passo 8
Finalmente substituo
,
,
e
, e também
. Fazendo as substituições e simplificando a parte
:
Portanto a expressão final simplificada fica