Usando a regra de cadeia determine \frac{d v}{d w}, na seguinte função:
v=x-\operatorname{sen} y+2 z ; \text { Onde } x=2 u+t ; y=\log (u) ; z=t^{u} ; t=\operatorname{sec} (w) e u=\operatorname{sen}\left(w^{2}\right)

Passo 1

O problema pede que eu determine \dfrac{dv}{dw} para a função
v = x - \operatorname{sen} y + 2z
com as relações
x = 2u + t,\qquad y = \log(u),\qquad z = t^{\,u},\qquad t = \operatorname{sec}(w),\qquad u = \operatorname{sen}\big(w^{2}\big).
Ou seja, todas as variáveis x,y,z,u,t são funções de w (direta ou indiretamente) e preciso calcular a derivada total de v em relação a w.

Passo 2

Estratégia: como v depende de x,y,z e cada uma dessas depende de w, uso a regra da cadeia na forma da derivada total
\frac{dv}{dw}=\frac{\partial v}{\partial x}\frac{dx}{dw}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{dy}{dw}+\frac{\partial v}{\partial z}\frac{dz}{dw}.
Antes de aplicar, vou calcular as derivadas parciais de v em relação a x,y,z.

Passo 3

Calculo das parciais de v. Como v=x-\operatorname{sen}y+2z:
\frac{\partial v}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-\cos y,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=2.
Explicação rápida: derivada de x em relação a x é 1; derivada de -\sin y em relação a y é -\cos y; e de 2z em relação a z é 2.

Passo 4

Agora preciso de dx/dw,\;dy/dw,\;dz/dw. Primeiro calculo du/dw e dt/dw, que aparecem em várias partes.
Temos u=\operatorname{sen}(w^2). Usando a regra da cadeia (derivada de \sin vezes derivada do argumento):
\frac{du}{dw} = \cos(w^2)\cdot\frac{d}{dw}(w^2)=\cos(w^2)\cdot 2w = 2w\cos(w^2).
Temos t=\operatorname{sec} w. Derivada de \operatorname{sec} w é \operatorname{sec} w \tan w, logo
\frac{dt}{dw}=\operatorname{sec} w \tan w.

Passo 5

Com du/dw e dt/dw posso achar dx/dw e dy/dw.
Como x=2u+t,
\frac{dx}{dw}=2\frac{du}{dw}+\frac{dt}{dw}=2\cdot(2w\cos(w^2))+\operatorname{sec} w\tan w=4w\cos(w^2)+\operatorname{sec} w\tan w.
Como y=\log(u) (log natural), usando \dfrac{d}{dw}\log(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dw},
\frac{dy}{dw}=\frac{1}{u}\frac{du}{dw}=\frac{2w\cos(w^2)}{u}.
Lembre que u=\operatorname{sen}(w^2), então mais adiante substituirei.

Passo 6

Agora falta dz/dw com z=t^{\,u}. Para derivar t^{u} onde tanto a base t quanto o expoente u dependem de w, uso a técnica padrão: escrevo z = e^{u\log t} e derivo:
\frac{dz}{dw} = \frac{d}{dw}\big(e^{u\log t}\big) = e^{u\log t}\cdot\frac{d}{dw}\big(u\log t\big) = t^{\,u}\bigg(\frac{du}{dw}\log t + u\frac{d}{dw}(\log t)\bigg).
Como \dfrac{d}{dw}(\log t)=\dfrac{1}{t}\dfrac{dt}{dw}, obtemos
\frac{dz}{dw}=t^{\,u}\left(\log t\cdot\frac{du}{dw}+u\cdot\frac{1}{t}\frac{dt}{dw}\right).
Essa é uma fórmula muito útil: para z=a(w)^{b(w)},
\frac{dz}{dw}=a^{b}\left(b'\log a + b\frac{a'}{a}\right).

Passo 7

Agora substituo todas as peças na fórmula da derivada total
\frac{dv}{dw}=1\cdot\frac{dx}{dw}+(-\cos y)\cdot\frac{dy}{dw}+2\cdot\frac{dz}{dw}.
Substituindo \dfrac{dx}{dw}, \dfrac{dy}{dw} e \dfrac{dz}{dw} que encontramos:
\frac{dv}{dw} = \big(4w\cos(w^2)+\operatorname{sec} w\tan w\big) - \cos(y)\cdot\frac{2w\cos(w^2)}{u} + 2\,t^{\,u}\!\left(\log t\cdot\frac{du}{dw}+u\cdot\frac{1}{t}\frac{dt}{dw}\right).

Passo 8

Finalmente substituo u=\operatorname{sen}(w^2), t=\operatorname{sec} w, \dfrac{du}{dw}=2w\cos(w^2) e \dfrac{dt}{dw}=\operatorname{sec} w\tan w, e também y=\log(u)=\log(\operatorname{sen}(w^2)). Fazendo as substituições e simplificando a parte u\cdot\frac{1}{t}\frac{dt}{dw}:
u\cdot\frac{1}{t}\frac{dt}{dw} = \sin(w^2)\cdot\frac{1}{\operatorname{sec} w}\cdot(\operatorname{sec} w\tan w) = \sin(w^2)\tan w.
Portanto a expressão final simplificada fica
\frac{dv}{dw} = 4w\cos(w^2)+\operatorname{sec} w\tan w -\frac{2w\cos(w^2)\cos\big(\log(\sin(w^2))\big)}{\sin(w^2)} +2(\operatorname{sec} w)^{\sin(w^2)}\!\Big(\sin(w^2)\tan w+2w\cos(w^2)\log(\operatorname{sec} w)\Big).

Resposta

\frac{dv}{dw} = 4w\cos(w^2)+\operatorname{sec} w\tan w -\frac{2w\cos(w^2)\cos\big(\log(\sin(w^2))\big)}{\sin(w^2)} +2(\operatorname{sec} w)^{\sin(w^2)}\!\Big(\sin(w^2)\tan w+2w\cos(w^2)\log(\operatorname{sec} w)\Big)

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