Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função 
 . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar a natureza deles usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a 
  e 
  são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular 
  e 
 .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 
  e 
 .
Primeiro, da equação (1):
Substituindo 
  na equação (2):
Agora, substituindo 
  de volta na expressão de 
 :
Então, o ponto crítico é 
 .
Passo 5
Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, o determinante da Hessiana 
  é dado por:
Passo 6
Interpretando o valor de 
 :
- Se 
e , então temos um mínimo local.  - Se 
e , então temos um máximo local.  - Se 
, então temos um ponto de sela.  
No nosso caso, 
  e 
 , então o ponto crítico 
  é um mínimo local.
Resposta
A função 
  possui um mínimo local no ponto 
 .