Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(b) 
 
(b)
Passo 1
Vamos lá! O exercício que temos aqui pede para que a gente determine o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo vetorial que vamos analisar é 
 . Para resolver isso, precisamos entender o que são rotacional e divergente. Rotacional é uma medida da circulação de um vetor em torno de um ponto, enquanto divergente mede a “saída” de um vetor em um ponto. Vamos calcular um por um.
Passo 2
Divergente: O divergente de um campo vetorial 
  é calculado pela fórmula:
No nosso caso, 
 , 
  e 
 . Agora vamos calcular cada derivada.
- 
Calculando
: - 
não depende de , então .  
 - 
 - 
Calculando
: - 
. Usando a regra da cadeia, temos que , pois não depende de .  
 - 
 - 
Calculando
: - 
também não depende de , então .  
 - 
 
Agora, juntando tudo, temos:
Passo 3
Rotacional: O rotacional de um campo vetorial 
  é dado pela fórmula:
Precisamos calcular agora cada uma dessas derivadas.
- 
Calculando
: - 
, então .  
 - 
 - 
Calculando
: - 
, logo, .  
 - 
 - 
Calculando
: - Como 
, temos que .  
 - Como 
 - 
Calculando
: - Para 
, então .  
 - Para 
 - 
Calculando
: - 
, então .  
 - 
 - 
Calculando
: - 
, então .  
 - 
 
Agora, substituindo tudo na fórmula do rotacional:
Resposta
Portanto, temos que o divergente de 
  é 
  e o rotacional de 
  é