Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) f(x, y) = 3x + y e x^2 + 2y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos da função sujeita à restrição . Isso está relacionado ao estudo de máximos e mínimos com restrições, e para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele ajuda a encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é introduzir uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange ( ), e resolver o sistema de equações que surge.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange, que é dada por:
No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e e igualar a zero:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para e em termos de :

Passo 6

Substituímos as expressões de e das equações (4) e (5) na equação da restrição (3):
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar e para cada caso:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Finalmente, vamos calcular os valores de nos pontos encontrados:
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os máximos e mínimos da função sob a restrição são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto

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