Para a hipocicloide de quatro vértices, x = a cos^3(t) e y = a sen^3(t), encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parametro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas primeira e segunda de em relação a para a hipocicloide de quatro vértices, dadas pelas equações paramétricas:
Vamos trabalhar com cálculo diferencial paramétrico para achar e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a e a derivada de em relação a , ou seja, e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia:
Aqui, podemos simplificar os termos que se repetem.

Passo 4

Simplificando a expressão:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar em relação a e depois dividir por :
Calculando :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:
Lembrando que , então .

Passo 7

Substituindo :

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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