Estude o sinal das funções.
f(x)=\frac{2 x-1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{2x-1}{x^{2}+1}
e pede para “estudar o sinal” de f. Ou seja, identificar para quais x temos f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{numerador }=2x-1,\qquad \text{denominador }=x^{2}+1.

Passo 2

Para estudar o sinal de uma função racional como f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} a ideia é simples e muito usada em prova:
  • O sinal de f depende dos sinais de N(x) e D(x).
  • Se D(x) for sempre positivo (ou sempre negativo) no domínio, então o sinal de f é o mesmo (ou o contrário) do sinal de N(x).
  • Zeros (raízes) do numerador marcamos como pontos onde f(x)=0. Zeros do denominador são pontos fora do domínio (assintotas verticais) onde f pode mudar de sinal.
  • Para polinômios de 1º grau (retas) é fácil determinar o sinal: a reta muda de sinal ao passar pela raiz e o sentido da mudança acompanha o coeficiente angular.
Vou aplicar essa técnica passo a passo aqui; se tiver dúvida em alguma etapa me fala, que eu repito mais devagar.

Passo 3

Verificação do domínio (dado importante): analisar quando o denominador é zero.
x^{2}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-1,
essa equação não tem solução real. Além disso, para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge 0, portanto
x^{2}+1\ge 1>0.
Conclusão sobre o domínio: o denominador é sempre positivo, logo a função está definida para todo número real. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Encontrar zeros do numerador (onde f(x)=0): resolver
2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Esse é o único ponto onde o numerador anula. Como o denominador não anula em nenhum ponto real, em x=\tfrac{1}{2} a função realmente vale zero:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0.

Passo 5

Determinar o sinal do numerador 2x-1: é um polinômio de 1º grau com coeficiente angular 2>0. Isso significa que a reta cruza o eixo x em x=\tfrac{1}{2} e é negativa à esquerda e positiva à direita. Formalmente:
  • Para x<\tfrac{1}{2}, 2x-1<0.
  • Para x=\tfrac{1}{2}, 2x-1=0.
  • Para x>\tfrac{1}{2}, 2x-1>0.

Passo 6

Combinar sinais: como o denominador x^{2}+1 é sempre positivo, o sinal de f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}+1} coincide com o sinal do numerador 2x-1. Portanto:
  • Para x<\tfrac{1}{2} temos f(x)<0.
  • Para x=\tfrac{1}{2} temos f(x)=0.
  • Para x>\tfrac{1}{2} temos f(x)>0.
Pequena checagem com valores:
f(0)=\frac{-1}{0^{2}+1}=-1<0,\qquad f(1)=\frac{1}{2}>0,
o que confirma o que obtivemos.

Passo 7

Escrever as soluções das desigualdades e conjuntos correspondentes (forma usuais pedidas em provas):
\{x\in\mathbb{R}: f(x)>0\}=\left(\tfrac{1}{2},\infty\right),
\{x\in\mathbb{R}: f(x)=0\}=\left\{\tfrac{1}{2}\right\},
\{x\in\mathbb{R}: f(x)<0\}=(-\infty,\tfrac{1}{2}).
Também, em caso de precisarem de \ge ou \le:
\{x: f(x)\ge 0\}=[\tfrac{1}{2},\infty),\qquad \{x: f(x)\le 0\}=(-\infty,\tfrac{1}{2}].

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
f(x)>0 para x\in\left(\tfrac{1}{2},\infty\right)
f(x)=0 para x=\tfrac{1}{2}
f(x)<0 para x\in\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right)

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