Estude o sinal das funções.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para “estudar o sinal” de
. Ou seja, identificar para quais
temos
,
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Para estudar o sinal de uma função racional como
a ideia é simples e muito usada em prova:
- O sinal de
depende dos sinais de e . - Se
for sempre positivo (ou sempre negativo) no domínio, então o sinal de é o mesmo (ou o contrário) do sinal de . - Zeros (raízes) do numerador marcamos como pontos onde
. Zeros do denominador são pontos fora do domínio (assintotas verticais) onde pode mudar de sinal. - Para polinômios de 1º grau (retas) é fácil determinar o sinal: a reta muda de sinal ao passar pela raiz e o sentido da mudança acompanha o coeficiente angular.
Vou aplicar essa técnica passo a passo aqui; se tiver dúvida em alguma etapa me fala, que eu repito mais devagar.
Passo 3
Verificação do domínio (dado importante): analisar quando o denominador é zero.
essa equação não tem solução real. Além disso, para todo
temos
, portanto
Conclusão sobre o domínio: o denominador é sempre positivo, logo a função está definida para todo número real. Em notação:
Passo 4
Encontrar zeros do numerador (onde
): resolver
Esse é o único ponto onde o numerador anula. Como o denominador não anula em nenhum ponto real, em
a função realmente vale zero:
Passo 5
Determinar o sinal do numerador
: é um polinômio de 1º grau com coeficiente angular
. Isso significa que a reta cruza o eixo
em
e é negativa à esquerda e positiva à direita. Formalmente:
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Passo 6
Combinar sinais: como o denominador
é sempre positivo, o sinal de
coincide com o sinal do numerador
. Portanto:
- Para
temos . - Para
temos . - Para
temos .
Pequena checagem com valores:
o que confirma o que obtivemos.
Passo 7
Escrever as soluções das desigualdades e conjuntos correspondentes (forma usuais pedidas em provas):
Também, em caso de precisarem de
ou
:
Resposta
Domínio:
para
para
para