Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
: o valor máximo, o valor mínimo e a imagem (conjunto de valores que a função assume).
Informações dadas e pressupostas: a função é o polinômio , cujo domínio, por ser polinômio, é todo o conjunto dos números reais
.
Informações dadas e pressupostas: a função é o polinômio
Passo 2
Observação importante sobre a forma da parábola. Uma função quadrática geral tem a forma
. Aqui temos
,
e
. O sinal de
determina se a parábola abre para cima ou para baixo:
Como
, a parábola abre para cima: portanto não haverá valor máximo (a função sobe sem limite para
), mas haverá um valor mínimo (o vértice da parábola).
Passo 3
Método prático — completar o quadrado (a maneira mais direta e básica). Vou transformar
numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante.
Começo por escrever
Para completar o quadrado, pego metade do coeficiente de
(metade de
é
), elevo ao quadrado e adiciono e subtraio esse termo:
Agora o primeiro parêntese é um quadrado perfeito:
Como
, temos a forma final
Passo 4
Interpretação da forma completada: o termo
é sempre maior ou igual a
para todo
. Logo o menor valor que
pode assumir é
, e isso acontece quando
. Substituindo,
Portanto o valor mínimo de
é
, obtido em
.
Passo 5
Sobre o valor máximo: como a parábola abre para cima (
), o termo
pode crescer arbitrariamente quando
aumenta, fazendo
quando
. Logo não existe valor máximo finito — a função não é limitada superiormente.
Passo 6
Imagem (conjunto de valores) da função: pelo Passo 4 o menor valor é
e a partir daí a função assume todos os valores maiores (pois vai até
). Assim a imagem é o intervalo
Resposta
Valor máximo: não existe (a função não é limitada superiormente).
Valor mínimo: , atingido em
.
Imagem: .
Valor mínimo:
Imagem: