Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
f(x)=x^{2}-3 x

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função \;f(x)=x^{2}-3x\;: o valor máximo, o valor mínimo e a imagem (conjunto de valores que a função assume).
Informações dadas e pressupostas: a função é o polinômio \;f(x)=x^{2}-3x\;, cujo domínio, por ser polinômio, é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.

Passo 2

Observação importante sobre a forma da parábola. Uma função quadrática geral tem a forma \;ax^{2}+bx+c\;. Aqui temos \;a=1, \;b=-3 e \;c=0. O sinal de \;a\; determina se a parábola abre para cima ou para baixo:
\text{se }a>0\text{, abre para cima (mínimo); se }a<0\text{, abre para baixo (máximo).}íá
Como \;a=1>0, a parábola abre para cima: portanto não haverá valor máximo (a função sobe sem limite para +\infty), mas haverá um valor mínimo (o vértice da parábola).

Passo 3

Método prático — completar o quadrado (a maneira mais direta e básica). Vou transformar \;f(x)=x^{2}-3x\; numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante.
Começo por escrever
f(x)=x^{2}-3x.
Para completar o quadrado, pego metade do coeficiente de x (metade de -3 é -\tfrac{3}{2}), elevo ao quadrado e adiciono e subtraio esse termo:
x^{2}-3x = \left(x^{2}-3x+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}\right) - \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}.
Agora o primeiro parêntese é um quadrado perfeito:
x^{2}-3x = \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}.
Como \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}, temos a forma final
\boxed{\,f(x)=\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}\,}.

Passo 4

Interpretação da forma completada: o termo \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2} é sempre maior ou igual a 0 para todo x. Logo o menor valor que \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2} pode assumir é 0, e isso acontece quando x=\tfrac{3}{2}. Substituindo,
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=0-\tfrac{9}{4}=-\tfrac{9}{4}.
Portanto o valor mínimo de f é -\tfrac{9}{4}, obtido em x=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Sobre o valor máximo: como a parábola abre para cima ( a=1>0), o termo \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2} pode crescer arbitrariamente quando |x| aumenta, fazendo f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty. Logo não existe valor máximo finito — a função não é limitada superiormente.

Passo 6

Imagem (conjunto de valores) da função: pelo Passo 4 o menor valor é -\tfrac{9}{4} e a partir daí a função assume todos os valores maiores (pois vai até +\infty). Assim a imagem é o intervalo
\left[-\tfrac{9}{4},+\infty\right).

Resposta

Valor máximo: não existe (a função não é limitada superiormente).
Valor mínimo: -\tfrac{9}{4}, atingido em x=\tfrac{3}{2}.
Imagem: \left[-\tfrac{9}{4},+\infty\right).

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