Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=x \sqrt{16-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o estudo de variação da função
f(x)=x\sqrt{16-x^{2}}
Isso envolve determinar o domínio, calcular f'(x), encontrar pontos críticos, analisar o sinal de f'(x) e, por fim, identificar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos.

Passo 2

O domínio vem de 16-x^{2}\ge0, ou seja -4\le x\le4. Para derivar use produto:
f(x)=x\,(16-x^{2})^{1/2}.
Logo
f'(x)=1\cdot(16-x^{2})^{1/2} + x\cdot\frac12(16-x^{2})^{-1/2}\,(-2x).
Simplificando,
f'(x) =\sqrt{16-x^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} =\frac{16-x^{2}-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} =\frac{16-2x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}.

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou \sqrt{16-x^{2}}=0. Da condição f'(x)=0 vem
16-2x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2\sqrt{2}.
Além disso, nos extremos do domínio, x=-4 e x=4, a derivada não existe (denominador zero), mas são candidatos a extremos no estudo de variação.

Passo 4

Para determinar o sinal de f'(x), note que o denominador \sqrt{16-x^{2}} é sempre positivo em (-4,4). Então o sinal de f'(x) coincide com o de
16-2x^{2}.
Temos
16-2x^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<8 \quad\Longleftrightarrow\quad -2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2},
e
16-2x^{2}<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<-2\sqrt{2}\\ \text{ou}\\ x>2\sqrt{2}.
Logo:
  • Em [-4,-2\sqrt{2}) e em (2\sqrt{2},4], f'(x)<0, portanto f decresce.
  • Em (-2\sqrt{2},2\sqrt{2}), f'(x)>0, portanto f cresce.

Passo 5

Avalie f nos pontos críticos e extremos do domínio:
f(-4)=-4\sqrt{0}=0, \quad f(-2\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\,\sqrt{16-8}=-2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=-8,
f(2\sqrt{2})=2\sqrt{2}\,\sqrt{8}=2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=8, \quad f(4)=4\sqrt{0}=0.
Portanto há mínimo local em x=-2\sqrt{2} com f(-2\sqrt{2})=-8 e máximo local em x=2\sqrt{2} com f(2\sqrt{2})=8.

Resposta

A função
– decresce em [-4,-2\sqrt{2}],
– cresce em [-2\sqrt{2},2\sqrt{2}],
– decresce em [2\sqrt{2},4].
Tem mínimo local \bigl(-2\sqrt{2},-8\bigr) e máximo local \bigl(2\sqrt{2},8\bigr).

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