Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=e^{x^{3}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função
f(x)=e^{x^{3}-3x}.
Isso significa achar onde f é crescente ou decrescente. Para isso vamos precisar de derivadas e de analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calculemos a derivada usando a regra da cadeia. Se
u(x)=x^{3}-3x,
então f(x)=e^{u(x)} e
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Como
u'(x)=3x^{2}-3,
temos
f'(x)=e^{x^{3}-3x}\,(3x^{2}-3).

Passo 3

Fatorando,
f'(x)=3\,(x^{2}-1)\,e^{x^{3}-3x}.
Como e^{x^{3}-3x}>0 para todo x, as raízes de f'(x)=0 vêm de
x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.

Passo 4

Para determinar o sinal de f'(x), basta observar x^{2}-1:
  • Se x<-1, então x^{2}-1>0, logo f'(x)>0.
  • Se -1<x<1, então x^{2}-1<0, logo f'(x)<0.
  • Se x>1, então x^{2}-1>0, logo f'(x)>0.
Portanto,
\displaystyle f é crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty),
e decrescente em (-1,1).

Passo 5

Classificamos os pontos críticos:
  • Em x=-1, f' muda de positivo para negativo, logo há máximo local.
  • Em x=1, f' muda de negativo para positivo, logo há mínimo local.
Calculando os valores:
f(-1)=e^{(-1)^{3}-3(-1)}=e^{-1+3}=e^{2}, \quad f(1)=e^{1^{3}-3\cdot1}=e^{1-3}=e^{-2}.

Resposta

f é crescente em (-\infty,-1), decrescente em (-1,1) e crescente em (1,\infty).
Tem máximo local em x=-1 com f(-1)=e^{2} e mínimo local em x=1 com f(1)=e^{-2}.

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