Estude a variação de sinal ( \mathrm{f}(\mathrm{x})>0, \mathrm{f}(\mathrm{x})=0 e \mathrm{f}(\mathrm{x})<0 ) das seguintes funções do 1^{\circ} grau:
f(x)=2 x+7

Passo 1

O que o enunciado pede: estudar a variação de sinal, ou seja, determinar onde a função é positiva ( f(x)>0), onde é zero ( f(x)=0) e onde é negativa ( f(x)<0).
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=2x+7. Aqui o coeficiente de x é 2 e o termo constante é 7.

Passo 2

Encontrar a raiz (o ponto onde a função é zero) resolvendo a equação \displaystyle f(x)=0.
Começo escrevendo a equação:
2x+7=0
Agora isolo x: subtraio 7 dos dois lados e divido por 2:
2x=-7
x=-\frac{7}{2}
Portanto a função anula-se em \displaystyle x=-\frac{7}{2} (que é -3,5).

Passo 3

Entender o papel do coeficiente angular (a inclinação). Para uma função linear \displaystyle f(x)=ax+b:
  • se a>0 a reta é crescente (quanto maior x, maior f(x));
  • se a<0 a reta é decrescente.
    Aqui a=2>0, então a reta é crescente. Isso nos dá uma informação sobre o sinal: à esquerda da raiz (valores menores que -\frac{7}{2}) a função terá sinal oposto ao que tem à direita; como é crescente, valores à esquerda dão f(x)<0 e à direita f(x)>0.

Passo 4

Resolver as desigualdades algebraicamente para explicitar os intervalos.
Para \displaystyle f(x)>0:
2x+7>0
Subtraio 7 e divido por 2 (lembre: como 2>0, a desigualdade não muda de sentido):
2x>-7
x>-\frac{7}{2}
Para \displaystyle f(x)<0:
2x+7<0
2x<-7
x<-\frac{7}{2}
E para \displaystyle f(x)=0 já vimos que:
x=-\frac{7}{2}

Passo 5

Verificação com pontos de teste (para fixar a ideia e conferir os intervalos):
  • Escolho x=-4 que é menor que -\frac{7}{2}. Calculo \displaystyle f(-4)=2(-4)+7=-8+7=-1, que é negativo — confirma que para x<-\frac{7}{2} temos f(x)<0.
  • Escolho x=0 que é maior que -\frac{7}{2}. Calculo \displaystyle f(0)=7, que é positivo — confirma que para x>-\frac{7}{2} temos f(x)>0.
  • Em x=-\frac{7}{2} a função vale zero por construção.

Passo 6

Síntese intuitiva (como você devia responder rápido numa prova): a raiz \displaystyle x=-\frac{7}{2} divide a reta em duas metades; como a inclinação é positiva, à esquerda é negativa e à direita é positiva. Use a resolução algébrica anterior para justificar.

Resposta

\displaystyle f(x)>0 para \displaystyle x>-\frac{7}{2}
\displaystyle f(x)=0 para \displaystyle x=-\frac{7}{2}
\displaystyle f(x)<0 para \displaystyle x<-\frac{7}{2}

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