O estudo da dilatação térmica linear e superficial, para pequenas variações de temperatura, pode ser representado de forma reduzida pelas equações I e II, expostas abaixo.
\begin{gathered} \Delta L=L_{0} \alpha \Delta t(\mathrm{I}) \\\ \text { Equação I } \end{gathered}çã
\begin{gathered} \Delta A=2 A_{0} \alpha \Delta t(\mathrm{II}) \\\ \text { Equação II } \end{gathered}çã
Nessas equações, considere:
  • \Delta L= dilatação térmica linear;
  • \Delta A= dilatação térmica superficial;
  • L_{0}= comprimento inicial;
  • A_{0}= área inicial;
  • \alpha= coeficiente de dilatação térmica linear; e
  • \Delta t= variação de temperatura.
A equação II pode ser obtida a partir da equação I, combinada com qualquer área de uma figura plana, com a supressão da parcela
A) A_{0} \alpha \Delta t^{2}.
B) A_{0} \alpha^{2} \Delta t.
C) \left(A_{0} \alpha \Delta t\right)^{2}.
D) A_{0} \alpha^{2} \Delta t^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta as fórmulas da dilatação térmica linear e superficial para pequenas variações de temperatura:
\Delta L = L_{0}\,\alpha\,\Delta t \tag{I}
\Delta A = 2\,A_{0}\,\alpha\,\Delta t \tag{II}
Queremos mostrar como se obtém a equação II a partir da linear (I) aplicada a duas dimensões de uma figura plana e identificar qual termo é suprimido no processo.

Passo 2

Considere um retângulo qualquer com comprimentos iniciais L_{0x} e L_{0y} em cada eixo. Após variação \Delta t, cada lado sofre dilatação linear dada por (I):
L_x = L_{0x} + \Delta L_x = L_{0x}\bigl(1 + \alpha\,\Delta t\bigr), \quad L_y = L_{0y} + \Delta L_y = L_{0y}\bigl(1 + \alpha\,\Delta t\bigr).

Passo 3

A área inicial é A_{0} = L_{0x}\,L_{0y}. A área final vale
A = L_x\,L_y = L_{0x}\,L_{0y}\bigl(1 + \alpha\,\Delta t\bigr)^{2} = A_{0}\bigl(1 + \alpha\,\Delta t\bigr)^{2}.

Passo 4

Expandindo o quadrado do binômio:
A = A_{0}\bigl(1 + 2\,\alpha\,\Delta t + (\alpha\,\Delta t)^{2}\bigr) = A_{0} + 2\,A_{0}\,\alpha\,\Delta t + A_{0}\,\alpha^{2}\,\Delta t^{2}.
Logo, a variação de área exata é
\Delta A = A - A_{0} = 2\,A_{0}\,\alpha\,\Delta t + A_{0}\,\alpha^{2}\,\Delta t^{2}.

Passo 5

Para pequenas variações de temperatura \Delta t, o termo quadrático \alpha^{2}\,\Delta t^{2} é muito menor que o termo linear e costuma ser desprezado. Assim, suprime-se
A_{0}\,\alpha^{2}\,\Delta t^{2},
ficando \Delta A\approx 2\,A_{0}\,\alpha\,\Delta t, que é a equação II.

Resposta

D) A_{0}\,\alpha^{2}\,\Delta t^{2}

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