Uma granada de 800 g utilizada em treinamentos militares é arremessada com velocidade de 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, a 2,0 metros de altura do solo, formando, com a horizontal, um ângulo de 53^{\circ}. Quando esse projétil atinge o ponto mais alto da trajetória, ocorre uma explosão dividindo-o em duas partes. Imediatamente após a explosão, o primeiro pedaço tem 600 g e possui velocidade de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} no sentido oposto ao sentido do movimento do projétil imediatamente antes da explosão.
Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 53^{\circ}=0,60 e sen 53^{\circ}=0,80 e considerando também que não houve interferência da resistência do ar durante todo o movimento, o segundo pedaço atinge novamente a altura de lançamento
A) 2,0 segundos depois que a granada é lançada, a uma distância de 105,0 metros do ponto de lançamento.
B) 2,0 segundos depois que a granada é lançada, a uma distância de 112,5 metros do ponto de lançamento.
C) 1,0 segundo depois que a granada é lançada, a uma distância de 112,5 metros do ponto de lançamento.
D) 1,0 segundo depois que a granada é lançada, a uma distância de 105,0 metros do ponto de lançamento.

Passo 1

O enunciado descreve uma granada de massa 0,8\\ \mathrm{kg} lançada com velocidade inicial de 45\\ \mathrm{km/h} (equivalente a 12,5\\ \mathrm{m/s}) a 53^\circ acima da horizontal, a uma altura inicial de 2,0\\ \mathrm{m}. No ponto mais alto da trajetória ocorre uma explosão que separa a granada em duas partes de massas 0,6\\ \mathrm{kg} e 0,2\\ \mathrm{kg}. Imediatamente após a explosão, o primeiro pedaço de 0,6\\ \mathrm{kg} adquire velocidade de 90\\ \mathrm{km/h} (equivalente a 25\\ \mathrm{m/s}) no sentido oposto ao movimento original. Precisamos determinar em que instante e a que distância do ponto de lançamento o segundo pedaço (massa 0,2\\ \mathrm{kg}) retorna à altura de lançamento. Vamos usar Cinemática de projéteis e Conservação de quantidade de movimento no eixo horizontal.

Passo 2

Calcular as componentes da velocidade inicial da granada. A velocidade inicial escalar é
v_0 = 45\\ \mathrm{km/h} = 12,5\\ \mathrm{m/s}.
As componentes em x e y são
v_{0x} = v_0 \cos 53^\circ = 12,5 \cdot 0,6 = 7,5\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = v_0 \sin 53^\circ = 12,5 \cdot 0,8 = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o instante e a altura do ponto mais alto antes da explosão. No ponto mais alto a velocidade vertical se anula, e o tempo até o ápice é
t_\text{ápice} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{10}{10} = 1,0\\ \mathrm{s}.á
A altura máxima em relação ao solo é
y_\text{máx} = y_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g} = 2,0 + \frac{10^2}{2 \cdot 10} = 7,0\\ \mathrm{m}.á

Passo 4

Aplicar conservação da quantidade de movimento no eixo horizontal no instante da explosão. Logo antes da explosão, a velocidade horizontal era v_\text{pre}=7,5\\ \mathrm{m/s}. Logo após, o pedaço de 0,6\\ \mathrm{kg} tem
v_1 = -\bigl(90\\ \mathrm{km/h}\bigr) = -25\\ \mathrm{m/s}.
Escrevendo
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_\text{total}\,v_\text{pre}
0,6 \cdot (-25) + 0,2 \cdot v_2 = 0,8 \cdot 7,5 = 6,0
-15 + 0,2\,v_2 = 6,0 \quad\Longrightarrow\quad 0,2\,v_2 = 21 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = 105\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o tempo até o segundo pedaço voltar à altura de lançamento. Após a explosão, o segundo pedaço parte de y_\text{máx}=7,0\\ \mathrm{m}á com velocidade vertical zero e sofre aceleração -g. Queremos y(t)=2,0\\ \mathrm{m}:
7,0 - \tfrac12 \,g\,t^2 = 2,0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,t^2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad t = 1,0\\ \mathrm{s}.
Portanto, desde o lançamento até o retorno à altura de 2,0\\ \mathrm{m} o tempo total é
t_\text{total} = t_\text{ápice} + t = 1,0 + 1,0 = 2,0\\ \mathrm{s}.á

Passo 6

Determinar a distância horizontal percorrida até esse instante. Antes da explosão o deslocamento horizontal foi
x_1 = v_{0x}\,t_\text{ápice} = 7,5 \cdot 1,0 = 7,5\\ \mathrm{m},á
e após a explosão
x_2 = v_2\,t = 105 \cdot 1,0 = 105,0\\ \mathrm{m}.
Logo a distância total é
x = x_1 + x_2 = 7,5 + 105,0 = 112,5\\ \mathrm{m}.

Resposta

B) 2,0 segundos depois que a granada é lançada, a uma distância de 112,5 metros do ponto de lançamento.

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