Em um estudo de dosagem experimental do concreto foram obtidos os resultados indicados na tabela abaixo.
Dosagem \mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} I II III
Cimento (kg) 1,00 1,00 1,00
Areia seca (kg) 1,03 1,70 2,38
Brita seca (kg) 2,48 3,30 4,13
Relação água/cimento 0,32 0,42 0,52
Massa específica ( \mathrm{kg} / \mathrm{dm}^{3} ) 2,43 2,40 2,37
\mathrm{f}_{\mathrm{c}, 28}(\mathrm{MPa}) 42,0 35,0 30,0
a) Tendo em vista um projeto em que a resistência característica à compressão do concreto foi especificada como sendo de 30 MPa , qual traço de concreto você recomendaria para o atendimento a esta especificação de projeto? Justifique.
b) Calcular o número e as dimensões dos caixotes de agregados a serem adicionados à betoneira em um dia em que a areia esteja com uma umidade de 4,5 \% e a brita com 1,5 \%. Adotar como referência 1 saco de cimento e caixotes com seção de 30 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm}.
c) Para o traço recomendado, calcule o consumo de cimento, o teor de argamassa seca e o teor de água/materiais secos.
Dados: Massa específica \rightarrow Cimento =3,15 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}; Areia =2,60 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}; Brita =2,70 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}.
Massa unitária \rightarrow Cimento =1,50 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3} ; Areia =1,50 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3} ; Brita =1,65 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}.
Coeficiente de inchamento da areia =1,35
Desvio-padrão para resistência à compressão \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{d}}=3,0 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais:
  • (a) Escolher qual dos traços I, II ou III recomendo para atender a uma resistência característica especificada de 30\\ \mathrm{MPa}, justificando a escolha.
  • (b) Calcular o número e as dimensões dos caixotes de agregados a serem adicionados à betoneira considerando 1 saco de cimento como referência; a areia tem umidade 4{,}5\% e a brita 1{,}5\%; os caixotes têm seção 30\\ \mathrm{cm}\times40\\ \mathrm{cm}.
  • (c) Para o traço recomendado, calcular (i) consumo de cimento, (ii) teor de argamassa seca e (iii) teor de água/materiais secos.
Dados relevantes fornecidos (copiando da tabela e dados auxiliares):
  • Traços (valores por unidade de cimento):
    • I: areia seca =1{,}03, brita seca =2{,}48, a/c=0{,}32, massa específica =2{,}43\\ \mathrm{kg/dm^3}, f_{c,28}=42{,}0\\ \mathrm{MPa}.
    • II: areia seca =1{,}70, brita seca =3{,}30, a/c=0{,}42, massa específica =2{,}40\\ \mathrm{kg/dm^3}, f_{c,28}=35{,}0\\ \mathrm{MPa}.
    • III: areia seca =2{,}38, brita seca =4{,}13, a/c=0{,}52, massa específica =2{,}37\\ \mathrm{kg/dm^3}, f_{c,28}=30{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Desvio-padrão para resistência: S_d=3{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Massa específica (sólidos): cimento =3{,}15\\ \mathrm{kg/dm^3}; areia =2{,}60\\ \mathrm{kg/dm^3}; brita =2{,}70\\ \mathrm{kg/dm^3}.
  • Massa unitária (bulk) para conversões volume ↔ massa (usada para caixotes): cimento =1{,}50\\ \mathrm{kg/dm^3}; areia =1{,}50\\ \mathrm{kg/dm^3}; brita =1{,}65\\ \mathrm{kg/dm^3}.
  • Coeficiente de inchamento da areia =1{,}35 (não será necessário para as contas pedidas diretamente, salvo indicação contrária).
  • Umidade das agregados no dia: areia =4{,}5\%, brita =1{,}5\%.
  • Adotar referência de 1 saco de cimento: assumirei o saco padrão de 50\\ \mathrm{kg} (convenção usual em obras).
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Como decidir se um traço atende à resistência característica pedida ( 30\\ \mathrm{MPa})?
Explicação didática do conceito que vamos usar (passo-a-passo):
  • Em controle de qualidade do concreto costuma-se admitir que a resistência medida em ensaios segue uma distribuição com média \bar f e desvio-padrão S_d. A resistência característica f_k (valor garantido) é tomada como um quantil à esquerda da distribuição, normalmente calculado por
f_k=\bar f - k\,S_d,
onde k é um coeficiente correspondente à probabilidade admissível de não conformidade. Para o caso clássico de 5\% de probabilidade de não conformidade usa-se k\approx1{,}64 (quantil da normal). Isso significa: com média \bar f e desvio S_d, espera-se que 95\% das peças tenham resistência maior que f_k.
  • Então, para verificar se um traço atende à especificação 30\\ \mathrm{MPa}, calculamos f_k para cada traço e comparamos com 30\\ \mathrm{MPa}. Se f_k\ge30\\ \mathrm{MPa} o traço atende (pelo critério adotado).
Vou adotar k=1{,}64 (convenção para 5% de probabilidade de falha). O enunciado deu S_d=3{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Cálculo do f_k para cada traço (detalhado):
  • Produto k S_d:
k S_d = 1{,}64 \times 3{,}0 = 4{,}92\\ \mathrm{MPa}.
  • Traço I: \bar f=42{,}0\\ \mathrm{MPa}. Logo
f_{k,\mathrm{I}} = 42{,}0 - 4{,}92 = 37{,}08\\ \mathrm{MPa}.
  • Traço II: \bar f=35{,}0\\ \mathrm{MPa}. Logo
f_{k,\mathrm{II}} = 35{,}0 - 4{,}92 = 30{,}08\\ \mathrm{MPa}.
  • Traço III: \bar f=30{,}0\\ \mathrm{MPa}. Logo
f_{k,\mathrm{III}} = 30{,}0 - 4{,}92 = 25{,}08\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: traços I e II produzem f_k>30\\ \mathrm{MPa} (II é muito próximo de 30\\ \mathrm{MPa}), enquanto III fica abaixo.

Passo 4

Decisão recomendada (justificativa técnica curta e empática):
  • O traço III é rejeitado porque seu f_k é 25{,}08\\ \mathrm{MPa}, bem abaixo dos 30\\ \mathrm{MPa} exigidos.
  • O traço I tem folga confortável ( f_k=37{,}08\\ \mathrm{MPa}), portanto atende com boa margem.
  • O traço II tem f_k=30{,}08\\ \mathrm{MPa}, isto é, atende a especificação apenas por uma margem pequena ( \approx0{,}08\\ \mathrm{MPa}). Em termos práticos isso significa que II é tecnicamente aceitável, porém é muito “no limite”: qualquer pequena variação no controle de qualidade (umidade, dosagem, cura) pode torná-lo não conforme.
Recomendação: se a prioridade é economia e minimizar sobredimensionamento, o traço II pode ser adotado, mas com rigor extremo no controle de execução; se preferir segurança e margem contra variações de obra, escolha o traço I. Vou manter como recomendação prática o traço II (ele atende a especificação), mas aviso que a margem é pequena e que, se quiser segurança extra, escolha I.

Passo 5

Agora calculamos as quantidades por 1 saco de cimento (assumi 1 saco =50\\ \mathrm{kg}) para o traço recomendado (adotei traço II). Explicação do procedimento:
  • A tabela dá proporções por unidade de cimento (por exemplo areia seca =1{,}70 significa 1{,}70\\ \mathrm{kg} de areia seca por 1{,}00\\ \mathrm{kg} de cimento seco na proporção). Quando adotamos 1 saco =50\\ \mathrm{kg} de cimento, multiplicamos as proporções por 50.
Cálculos:
  • Cimento (por saco): \;50\\ \mathrm{kg}.
  • Areia seca (por saco): \;1{,}70\times50 = 85{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Brita seca (por saco): \;3{,}30\times50 = 165{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Água de projeto (massa de água total necessária): \; (a/c)\times\text{massa cimento} = 0{,}42\times50 = 21{,}0\\ \mathrm{kg} (note: 1\\ \mathrm{kg} de água \approx1\\ \mathrm{L}).

Passo 6

Ajuste por umidade dos agregados e cálculo da água adicional a ser fornecida pelo operador:
  • Definição e convenção usada: a umidade m\% é tomada como fração da massa seca (convenção usual): massa úmida = \text{massa seca}\times(1+m). A água contida no agregado úmido é \text{massa seca}\times m.
  • Areia: m_{areia}=4{,}5\%=0{,}045. Então:
    • Massa úmida da areia a ser carregada:
    m_{a,úmida}=85{,}0\times(1+0{,}045)=85{,}0\times1{,}045=88{,}825\\ \mathrm{kg}.ú
    • Água contida na areia:
    w_{a}=88{,}825-85{,}0=3{,}825\\ \mathrm{kg}.
  • Brita: m_{brita}=1{,}5\%=0{,}015. Então:
    • Massa úmida da brita:
    m_{b,úmida}=165{,}0\times(1+0{,}015)=165{,}0\times1{,}015=167{,}475\\ \mathrm{kg}.ú
    • Água contida na brita:
    w_{b}=167{,}475-165{,}0=2{,}475\\ \mathrm{kg}.
  • Água total contida nos agregados:
w_{agregados}=w_{a}+w_{b}=3{,}825+2{,}475=6{,}300\\ \mathrm{kg}.
  • Água que o operador deve adicionar na betoneira (corrigida pela umidade dos agregados):
w_{a\_adicionar}=w_{\text{projeto}}-w_{agregados}=21{,}0-6{,}300=14{,}700\\ \mathrm{kg}.
(ou seja, adicionar 14{,}7\\ \mathrm{kg} 14{,}7\\ \mathrm{L} de água no carregamento por saco de cimento).

Passo 7

Cálculo das dimensões dos caixotes (seção 30\\ \mathrm{cm}\times40\\ \mathrm{cm}) para armazenar os agregados úmidos por saco de cimento.
Explicação do procedimento:
  • Usamos a massa unitária (bulk density) dada para converter massa úmida em volume útil que ocupará no caixote. A massa unitária está em \mathrm{kg/dm^3} (o que é kg por litro). A área da seção do caixote em dm^2 é 30\\ \mathrm{cm}=3\\ \mathrm{dm} e 40\\ \mathrm{cm}=4\\ \mathrm{dm}, então A=3\times4=12\\ \mathrm{dm^2}. Se o volume do agregado é V\\ \mathrm{dm^3}, a altura necessária no caixote é h=V/A (em dm), que multiplicada por 10 dá cm.
Cálculos por agregado:
  • Volume úmido da areia:
V_{a}=\dfrac{m_{a,úmida}}{\text{massa unitária da areia}}=\dfrac{88{,}825}{1{,}50}=59{,}2167\\ \mathrm{dm^3}.úá
  • Profundidade do enchimento da areia num caixote de seção 12\\ \mathrm{dm^2}:
h_{a}=\dfrac{59{,}2167}{12}=4{,}9347\\ \mathrm{dm}=49{,}347\\ \mathrm{cm}.
  • Volume úmido da brita:
V_{b}=\dfrac{167{,}475}{1{,}65}=101{,}500\\ \mathrm{dm^3}.
  • Profundidade do enchimento da brita no mesmo caixote:
h_{b}=\dfrac{101{,}500}{12}=8{,}4583\\ \mathrm{dm}=84{,}583\\ \mathrm{cm}.
Interpretação prática: para cada saco de cimento (50 kg), você precisa aproximadamente:
  • 1 caixote (seção 30\times40\\ \mathrm{cm}) de areia enchido até 49{,}35\\ \mathrm{cm} de altura;
  • 1 caixote (seção 30\times40\\ \mathrm{cm}) de brita enchido até 84{,}58\\ \mathrm{cm} de altura.
(Se preferir caixotes com altura padrão, pode usar múltiplos caixotes rasos; aqui demos as alturas exatas para um único caixote de seção dada.)

Passo 8

Cálculos do item (c) para o traço recomendado (II): consumo de cimento, teor de argamassa seca e teor de água/materiais secos — interpretarei “consumo de cimento” em \mathrm{kg/m^3}, “teor de argamassa seca” tanto em \mathrm{kg/m^3} quanto em \% dos materiais secos, e “teor de água/materiais secos” como a razão \dfrac{\text{água}}{\text{materiais secos}}á.
Procedimento explicado:
  • A tabela nos dá massas relativas por unidade de cimento (por 1\\ \mathrm{kg} de cimento seco). Para o traço II temos, por 1\\ \mathrm{kg} de cimento: cimento =1{,}00, areia seca =1{,}70, brita seca =3{,}30, água =0{,}42. Somando as massas obtemos a massa total de uma “unidade” de mistura por 1\\ \mathrm{kg} de cimento.
  • A massa específica do concreto fresco para o traço II é 2{,}40\\ \mathrm{kg/dm^3} (ou 2400\\ \mathrm{kg/m^3}). Usamos isso para converter massa total por unidade de cimento em volume por unidade de cimento e daí obter quantos kg de cimento são necessários para produzir 1\\ \mathrm{m^3} de concreto.
Cálculos (detalhado):
  • Massa total por 1\\ \mathrm{kg} de cimento (somando cimento+areia+brita+água):
M_{\text{unidade}}=1{,}00+1{,}70+3{,}30+0{,}42=6{,}42\\ \mathrm{kg}.
Isso significa que 1\\ \mathrm{kg} de cimento gera 6{,}42\\ \mathrm{kg} de concreto fresco (massa).
  • Volume do concreto produzido por 1\\ \mathrm{kg} de cimento:
V_{\text{por kg cimento}}=\dfrac{M_{\text{unidade}}}{\rho_{\text{concreto}}}=\dfrac{6{,}42}{2{,}40}=2{,}675\\ \mathrm{dm^3}.
  • Então para obter 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{dm^3} precisamos de:
\text{cimento por }1\\ \mathrm{m^3}=\dfrac{1000}{2{,}675}=373{,}8318\\ \mathrm{kg/m^3}\approx373{,}8\\ \mathrm{kg/m^3}.
(aproximadamente 374\\ \mathrm{kg/m^3}, valor razoável para um traço com \,a/c=0{,}42.)
Agora as demais quantidades por 1\\ \mathrm{m^3} (usar as proporções):
  • Areia seca por 1\\ \mathrm{m^3}:
m_{areia/m^3}=1{,}70\times373{,}8318=635{,}514\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Brita seca por 1\\ \mathrm{m^3}:
m_{brita/m^3}=3{,}30\times373{,}8318=1\,231{,}645\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Água de projeto por 1\\ \mathrm{m^3}:
m_{agua/m^3}=0{,}42\times373{,}8318=157{,}212\\ \mathrm{kg/m^3}.
Verificação soma (aprox.):
373{,}832+635{,}514+1\,231{,}645+157{,}212\approx2\,398{,}203\\ \mathrm{kg/m^3},
muito próximo de 2{,}40\times1000=2400\\ \mathrm{kg/m^3}, diferenças por arredondamento.
Teor de argamassa seca:
  • Massa de argamassa seca por 1\\ \mathrm{m^3} = massa cimento + massa areia (ambas secas):
m_{\text{argamassa seca}}=373{,}8318+635{,}514=1\,009{,}346\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Como porcentagem dos materiais secos (cimento+areia+brita):
\text{teor (\%)}=\dfrac{1{,}009{,}346}{373{,}832+635{,}514+1{,}231{,}645}\times100\%= \dfrac{1{,}009{,}346}{2{,}240{,}991}\times100\%\approx45{,}0\%.
(Nota: esse valor corresponde também à razão direta das proporções: (1+1{,}70)/(1+1{,}70+3{,}30)=2{,}70/6{,}00=0{,}45.)
Teor de água/materiais secos:
  • Definição usada: \dfrac{\text{água total de projeto}}{\text{materiais secos totais}}á onde “materiais secos” = cimento + areia + brita (todos secos). Em termos de proporções por 1\\ \mathrm{kg} de cimento:
\text{teor água/mat secos}=\dfrac{0{,}42}{1+1{,}70+3{,}30}=\dfrac{0{,}42}{6{,}00}=0{,}07=7{,}0\%.á
Ou numérico por 1\\ \mathrm{m^3}:
\dfrac{157{,}212}{2{,}240{,}991}=0{,}0702\approx0{,}07.

Resposta

(a) Recomendo o traço II; seu valor característico calculado é f_{k,\mathrm{II}}=35{,}0-1{,}64\cdot3{,}0=30{,}08\\ \mathrm{MPa}, que atende a 30\\ \mathrm{MPa} (observação: margem muito pequena, portanto se desejar maior segurança escolha o traço I, que dá f_{k,\mathrm{I}}=37{,}08\\ \mathrm{MPa}).\n
(b) Para 1 saco de cimento ( 50\\ \mathrm{kg}), traço II: areia seca =85{,}0\\ \mathrm{kg}, brita seca =165{,}0\\ \mathrm{kg}, água de projeto =21{,}0\\ \mathrm{kg}. Com umidade areia 4{,}5\% e brita 1{,}5\%: areia úmida a carregar =88{,}825\\ \mathrm{kg} (contém 3{,}825\\ \mathrm{kg} de água), brita úmida a carregar =167{,}475\\ \mathrm{kg} (contém 2{,}475\\ \mathrm{kg} de água). Água que o operador deve adicionar na betoneira por saco: 21{,}0-6{,}300=14{,}700\\ \mathrm{kg}. Caixotes (seção 30\times40\\ \mathrm{cm}=12\\ \mathrm{dm^2}): areia ocupa 59{,}217\\ \mathrm{dm^3}\Rightarrow altura no caixote =49{,}35\\ \mathrm{cm}; brita ocupa 101{,}500\\ \mathrm{dm^3}\Rightarrow altura no caixote =84{,}58\\ \mathrm{cm}. (Portanto, por saco: 1 caixote de areia até 49{,}35\\ \mathrm{cm} e 1 caixote de brita até 84{,}58\\ \mathrm{cm}.)\n
(c) Para o traço II, por 1\\ \mathrm{m^3} de concreto: consumo de cimento =373{,}8\\ \mathrm{kg/m^3}; teor de argamassa seca =1\,009{,}35\\ \mathrm{kg/m^3} (equivalente a 45{,}0\% dos materiais secos); teor água/materiais secos =0{,}07 (ou 7{,}0\%).

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