a) Determine o torque pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 90 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 70 MPa .
b) Resolva a letra (a) considerando que o eixo de seção cheia foi substituído por um eixo vazado com a mesma massa e com um diâmetro interno de 90 mm .
b) Resolva a letra (a) considerando que o eixo de seção cheia foi substituído por um eixo vazado com a mesma massa e com um diâmetro interno de 90 mm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo maciço (seção cheia) de diâmetro
sem exceder a tensão de cisalhamento admissível . - (b) Repetir (a) para um eixo vazado (tubular) que tenha o mesmo massa do eixo maciço e cujo diâmetro interno seja
.
Informações e dados fornecidos (já organizados):
- Diâmetro do eixo maciço:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
(observe que ). - Para o caso vazado: diâmetro interno
, massa do eixo vazado = massa do eixo maciço (mesma massa/mesma área de seção transversal, assumindo mesma densidade e comprimento). - O que queremos calcular: o torque máximo
suportável em cada caso, expressos de forma clara (vou dar em e em ).
Passo 2
Conceito e fórmula básica da torção (aula rápida): quando um eixo circular é submetido a um torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (em ou ), -
é o torque (em ou ), -
é o raio externo da seção (em ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (em ).
Na prova você provavelmente usará essa fórmula isolando
:
Explicação das unidades: se
estiver em
,
em
e
em
, então
sai em
. Para transformar em
divide-se por
.
Passo 3
Momento polar
para seção circular maciça e para seção circular vazada:
- Para eixo maciço de diâmetro
:
- Para eixo vazado com diâmetro externo
e interno :
Também o raio externo é
(ou
para o vazado).
Passo 4
Resolvendo (a) — fórmula simplificada para eixo maciço:
Substituindo e
na expressão de
,
Substituindo
Esta forma é conveniente porque já elimina
e
numa só expressão. Aqui:
-
, -
.
Passo 5
Cálculo numérico de (a):
Calcule :
Calcule
Agora aplique a fórmula
Substituindo os valores:
Calcule o produto (faça essa conta lentamente na prova; eu já fiz):
Convertendo para
dividindo por
:
Passo 6
Entendendo (b) — mesma massa implica mesma área de seção:
A massa por unidade de comprimento de um eixo é proporcional à área da seção transversal. Como a massa do eixo vazado é igual à do maciço e assumimos mesma densidade/comprimento, então as áreas devem ser iguais:
A massa por unidade de comprimento de um eixo é proporcional à área da seção transversal. Como a massa do eixo vazado é igual à do maciço e assumimos mesma densidade/comprimento, então as áreas devem ser iguais:
Em termos do diâmetro:
Cancelando
:
No nosso problema
e
, logo:
Passo 7
Calcule numericamente o diâmetro externo do vazado:
Raio externo
.
Passo 8
Fórmula do torque para o eixo vazado e simplificação:
Partimos de
Partimos de
Como no nosso caso
e
, podemos simplificar analiticamente:
-
. -
Portanto
Logo
Isto é útil: o torque do eixo vazado (com as condições do enunciado) é simplesmente o torque do maciço multiplicado por
.
Passo 9
Cálculo numérico de (b):
Usando o resultado do passo anterior,
Usando o resultado do passo anterior,
Com
,
Em kN·m isso dá aproximadamente
.
Passo 10
Interpretação curta e incentivo: a razão pela qual o eixo vazado (de mesma massa) suporta muito mais torque é que, na torção, o momento polar
depende fortemente das potências altas do diâmetro (
). Ao deslocar material para longe do eixo (aumentando
), mesmo mantendo a mesma área total, aumentamos muito
e, portanto, a capacidade ao torque. Calma que isso é normal — em provas cai direto essa ideia: mais material longe do centro = muito mais resistência à torção.
Resposta
(a)
(b)
(b)