a) Determine o torque pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 90 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 70 MPa .
b) Resolva a letra (a) considerando que o eixo de seção cheia foi substituído por um eixo vazado com a mesma massa e com um diâmetro interno de 90 mm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo maciço (seção cheia) de diâmetro 90\\ \text{mm} sem exceder a tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{MPa}.
  • (b) Repetir (a) para um eixo vazado (tubular) que tenha o mesmo massa do eixo maciço e cujo diâmetro interno seja 90\\ \text{mm}.
Informações e dados fornecidos (já organizados):
  • Diâmetro do eixo maciço: d_{\text{maciço}}=90\\ \text{mm}ç.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{MPa}=70\\ \text{N/mm}^2 (observe que 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N/mm}^2).
  • Para o caso vazado: diâmetro interno d_i=90\\ \text{mm}, massa do eixo vazado = massa do eixo maciço (mesma massa/mesma área de seção transversal, assumindo mesma densidade e comprimento).
  • O que queremos calcular: o torque máximo T suportável em cada caso, expressos de forma clara (vou dar em \text{N}\cdot\text{m} e em \text{kN}\cdot\text{m}).

Passo 2

Conceito e fórmula básica da torção (aula rápida): quando um eixo circular é submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em \text{N/mm}^2 ou \text{MPa}),
  • T é o torque (em \text{N}\cdot\text{mm} ou \text{N}\cdot\text{m}),
  • c é o raio externo da seção (em \text{mm}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em \text{mm}^4).
Na prova você provavelmente usará essa fórmula isolando T:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Explicação das unidades: se \tau estiver em \text{N/mm}^2, J em \text{mm}^4 e c em \text{mm}, então T sai em \text{N}\cdot\text{mm}. Para transformar em \text{N}\cdot\text{m} divide-se por 1000.

Passo 3

Momento polar J para seção circular maciça e para seção circular vazada:
  • Para eixo maciço de diâmetro d:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^4}{32}.ç
  • Para eixo vazado com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi\left(d_o^4-d_i^4\right)}{32}.
Também o raio externo é c=d/2 (ou d_o/2 para o vazado).

Passo 4

Resolvendo (a) — fórmula simplificada para eixo maciço:
Substituindo J_{\text{maciço}}ç e c=d/2 na expressão de T,
T=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\dfrac{\pi d^4}{32}}{d/2} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi d^3}{16}.
Esta forma é conveniente porque já elimina J e c numa só expressão. Aqui:
  • \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{N/mm}^2,
  • d=90\\ \text{mm}.

Passo 5

Cálculo numérico de (a):
Calcule d^3:
d^3=90^3=729\,000\\ \text{mm}^3.
Agora aplique a fórmula
T_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{16}\,\tau_{\text{adm}}\,d^3.ç
Substituindo os valores:
T_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{16}\times70\times729\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.ç
Calcule o produto (faça essa conta lentamente na prova; eu já fiz):
T_{\text{maciço}}\approx 10\,019\,717\\ \text{N}\cdot\text{mm}.ç
Convertendo para \text{N}\cdot\text{m} dividindo por 1000:
T_{\text{maciço}}\approx 10\,019{,}7\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 10{,}02\\ \text{kN}\cdot\text{m}.ç

Passo 6

Entendendo (b) — mesma massa implica mesma área de seção:
A massa por unidade de comprimento de um eixo é proporcional à área da seção transversal. Como a massa do eixo vazado é igual à do maciço e assumimos mesma densidade/comprimento, então as áreas devem ser iguais:
\text{Área do maciço}=\text{Área do anel vazado}.ÁçÁ
Em termos do diâmetro:
\frac{\pi d_{\text{maciço}}^2}{4}=\frac{\pi\left(d_o^2-d_i^2\right)}{4}.ç
Cancelando \pi/4:
d_{\text{maciço}}^2=d_o^2-d_i^2 \quad\Rightarrow\quad d_o^2=d_{\text{maciço}}^2+d_i^2.çç
No nosso problema d_{\text{maciço}}=90\\ \text{mm}ç e d_i=90\\ \text{mm}, logo:
d_o^2=90^2+90^2=2\cdot90^2 \quad\Rightarrow\quad d_o=90\sqrt{2}.

Passo 7

Calcule numericamente o diâmetro externo do vazado:
d_o=90\sqrt{2}\\ \text{mm}\approx 90\times1{,}41421356\approx127{,}279\\ \text{mm}.
Raio externo c_o=d_o/2\approx63{,}6395\\ \text{mm}.

Passo 8

Fórmula do torque para o eixo vazado e simplificação:
Partimos de
T_{\text{vazado}}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{vazado}}}{c_o} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\dfrac{\pi(d_o^4-d_i^4)}{32}}{d_o/2} =\frac{\pi}{16}\,\tau_{\text{adm}}\left(d_o^3-\frac{d_i^4}{d_o}\right).
Como no nosso caso d_i=d_{\text{maciço}}=dç e d_o=d\sqrt{2}, podemos simplificar analiticamente:
  • d_o^3=d^3( \sqrt{2})^3 = d^3\cdot 2\sqrt{2}.
  • \dfrac{d_i^4}{d_o}=\dfrac{d^4}{d\sqrt{2}}=d^3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\\ d^3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
    Portanto
d_o^3-\frac{d_i^4}{d_o}=d^3\left(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=d^3\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Logo
T_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{16}\tau_{\text{adm}}\,d^3\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2} = T_{\text{maciço}}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}.ç
Isto é útil: o torque do eixo vazado (com as condições do enunciado) é simplesmente o torque do maciço multiplicado por \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}12132034.

Passo 9

Cálculo numérico de (b):
Usando o resultado do passo anterior,
T_{\text{vazado}}=T_{\text{maciço}}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}.ç
Com T_{\text{maciço}}\approx 10\,019{,}7\\ \text{N}\cdot\text{m}ç,
T_{\text{vazado}}\approx 10\,019{,}7\times2{,}12132034\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 21\,240\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Em kN·m isso dá aproximadamente 21{,}24\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 10

Interpretação curta e incentivo: a razão pela qual o eixo vazado (de mesma massa) suporta muito mais torque é que, na torção, o momento polar J depende fortemente das potências altas do diâmetro ( d^4). Ao deslocar material para longe do eixo (aumentando d_o), mesmo mantendo a mesma área total, aumentamos muito J e, portanto, a capacidade ao torque. Calma que isso é normal — em provas cai direto essa ideia: mais material longe do centro = muito mais resistência à torção.

Resposta

(a) T_{\text{maciço}}\approx 10\,019{,}7\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 10{,}02\\ \text{kN}\cdot\text{m}ç
(b) T_{\text{vazado}}\approx 21\,240\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 21{,}24\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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