Determine a força horizontal mínima
necessária para que a caixa deslize para cima no plano de
. A caixa tem massa de 50 kg e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o plano é
. Dica: Lembre-se que a força de atrito é oposta ao movimento. Faça o DCL e defina a direção de
. Monte um sistema com as duas equações de equilíbrio de forças e encontre
e
simultaneamente. Resp.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a força horizontal mínima
necessária para que a caixa deslize para cima do plano inclinado de
. Dados fornecidos:
Vou adotar a gravidade padrão
. Perguntas a responder: encontrar a normal
e a força horizontal mínima
que faz a caixa iniciar o movimento para cima do plano.
Passo 2
Faça o DCL (Diagrama de Corpo Livre) mentalmente: na caixa atuam
- o peso
vertical para baixo; - a força horizontal aplicada
(direção horizontal, para a direita, supondo que empurra nesse sentido); - a força normal
, perpendicular ao plano, da superfície sobre a caixa; - a força de atrito estático
, que sempre aponta oposta ao movimento iminente. Como queremos que a caixa deslize para cima, o movimento iminente é para cima, logo a força de atrito age para baixo ao longo do plano e tem magnitude máxima .
Passo 3
Escolha de eixos: eixo
ao longo do plano positivo para cima; eixo
perpendicular ao plano para fora. Vamos decompor as forças nesses eixos.
Decomposição do peso:
Decomposição da força horizontal
em relação ao plano: a direção horizontal forma ângulo
com a direção ao longo do plano, portanto
Observação sobre sinais: como
aponta para a direita e o plano sobe para a direita,
é positivo no sentido para cima do plano, e
aumenta a compressão (aumenta
).
Passo 4
Escreva as equações de equilíbrio (condição de iminência de deslizamento para cima — isto é, equilíbrio estático justo antes do movimento):
Equilíbrio na direção
(perpendicular ao plano):
Isolando
:
Equilíbrio na direção
(ao longo do plano), no caso limite de deslizamento para cima a soma das forças ao longo do plano é zero:
Como o atrito estático máximo é
e age para baixo do plano,
Passo 5
Substitua a expressão de
(do Passo 4) na equação ao longo do plano para eliminar
e encontrar
.
Começando por
Desenvolvendo os termos:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
Essa é a fórmula geral para a força horizontal mínima
que faz a caixa deslizar para cima, quando a força é horizontal.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os senos e cossenos:
Calcule
:
Calcule o numerador:
Primeiro
, então
Logo o numerador é
Calcule o denominador:
Agora
:
Passo 7
Com
em mãos, calcule a normal
pela fórmula do Passo 4:
Substituindo valores:
Somando,
Passo 8
Interpretação final: a força horizontal mínima que assegura que a caixa comece a deslizar para cima do plano é
e a normal correspondente é
. Se você comparar com a “resp.” que veio junto ao enunciado, notei uma diferença numérica — provavelmente houve diferença no valor do coeficiente de atrito ou arredondamento usado por quem resolveu antes — mas o processo acima é o consistente fisicamente.