Determine a força horizontal mínima \mathbf{P} necessária para que a caixa deslize para cima no plano de 30^{\circ}. A caixa tem massa de 50 kg e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o plano é \mu_{\mathrm{e}}=0,3. Dica: Lembre-se que a força de atrito é oposta ao movimento. Faça o DCL e defina a direção de \mathbf{F}. Monte um sistema com as duas equações de equilíbrio de forças e encontre \mathbf{N} e \mathbf{P} simultaneamente. Resp. \mathbf{N}= 661,9 \mathrm{~N} e \mathbf{P}=474 \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força horizontal mínima \mathbf{P} necessária para que a caixa deslize para cima do plano inclinado de 30^\circ. Dados fornecidos:
m=50\\ \mathrm{kg},\qquad \mu_{\mathrm{e}}=0,3,\qquad \theta=30^\circ.
Vou adotar a gravidade padrão \,g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}. Perguntas a responder: encontrar a normal \mathbf{N} e a força horizontal mínima \mathbf{P} que faz a caixa iniciar o movimento para cima do plano.

Passo 2

Faça o DCL (Diagrama de Corpo Livre) mentalmente: na caixa atuam
  • o peso \, \mathbf{W}=m\mathbf{g} vertical para baixo;
  • a força horizontal aplicada \mathbf{P} (direção horizontal, para a direita, supondo que empurra nesse sentido);
  • a força normal \mathbf{N}, perpendicular ao plano, da superfície sobre a caixa;
  • a força de atrito estático \mathbf{F}_\mathrm{a}, que sempre aponta oposta ao movimento iminente. Como queremos que a caixa deslize para cima, o movimento iminente é para cima, logo a força de atrito age para baixo ao longo do plano e tem magnitude máxima \,F_\mathrm{a}=\mu_{\mathrm{e}}N.

Passo 3

Escolha de eixos: eixo x ao longo do plano positivo para cima; eixo y perpendicular ao plano para fora. Vamos decompor as forças nesses eixos.
Decomposição do peso:
\text{componente ao longo do plano (para baixo)}:\quad W_x = mg\sin\theta,
\text{componente normal (para dentro do plano)}:\quad W_y = mg\cos\theta.
Decomposição da força horizontal \mathbf{P} em relação ao plano: a direção horizontal forma ângulo \theta com a direção ao longo do plano, portanto
\text{componente ao longo do plano (para cima)}:\quad P_x = P\cos\theta,
\text{componente perpendicular ao plano (pressionando para dentro)}:\quad P_y = P\sin\theta.
Observação sobre sinais: como \mathbf{P} aponta para a direita e o plano sobe para a direita, P_x é positivo no sentido para cima do plano, e P_y aumenta a compressão (aumenta N).

Passo 4

Escreva as equações de equilíbrio (condição de iminência de deslizamento para cima — isto é, equilíbrio estático justo antes do movimento):
Equilíbrio na direção y (perpendicular ao plano):
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad N - W_y - P_y = 0.
Isolando N:
\boxed{\,N = mg\cos\theta + P\sin\theta\,}.
Equilíbrio na direção x (ao longo do plano), no caso limite de deslizamento para cima a soma das forças ao longo do plano é zero:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad P_x - W_x - F_\mathrm{a}=0.
Como o atrito estático máximo é \,F_\mathrm{a}=\mu_{\mathrm{e}}N e age para baixo do plano,
\boxed{\,P\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_{\mathrm{e}}N = 0\,}.

Passo 5

Substitua a expressão de N (do Passo 4) na equação ao longo do plano para eliminar N e encontrar P.
Começando por
P\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_{\mathrm{e}}\bigl(mg\cos\theta + P\sin\theta\bigr)=0.
Desenvolvendo os termos:
P\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_{\mathrm{e}}mg\cos\theta - \mu_{\mathrm{e}}P\sin\theta = 0.
Agrupando os termos em P:
P\bigl(\cos\theta - \mu_{\mathrm{e}}\sin\theta\bigr) = mg\bigl(\sin\theta + \mu_{\mathrm{e}}\cos\theta\bigr).
Isolando P:
\boxed{\,P = \dfrac{mg\bigl(\sin\theta + \mu_{\mathrm{e}}\cos\theta\bigr)}{\cos\theta - \mu_{\mathrm{e}}\sin\theta}\,}.
Essa é a fórmula geral para a força horizontal mínima P que faz a caixa deslizar para cima, quando a força é horizontal.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os senos e cossenos:
\sin30^\circ = 0,5,\qquad \cos30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
Calcule mg:
mg = 50\cdot 9,81 = 490,5\\ \mathrm{N}.
Calcule o numerador:
mg\bigl(\sin\theta + \mu_{\mathrm{e}}\cos\theta\bigr) =490,5\bigl(0,5 + 0,3\cdot 0,8660254\bigr).
Primeiro 0,3\cdot 0,8660254 \approx 0,2598076, então
0,5 + 0,2598076 = 0,7598076.
Logo o numerador é
490,5\cdot 0,7598076 \approx 372,69\\ \mathrm{N}.
Calcule o denominador:
\cos\theta - \mu_{\mathrm{e}}\sin\theta = 0,8660254 - 0,3\cdot 0,5 = 0,8660254 - 0,15 = 0,7160254.
Agora P:
P \approx \dfrac{372,69}{0,7160254} \approx 520,5\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Com P em mãos, calcule a normal N pela fórmula do Passo 4:
N = mg\cos\theta + P\sin\theta.
Substituindo valores:
mg\cos\theta = 490,5\cdot 0,8660254 \approx 424,79\\ \mathrm{N},
P\sin\theta = 520,5\cdot 0,5 = 260,25\\ \mathrm{N}.
Somando,
N \approx 424,79 + 260,25 = 685,04\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação final: a força horizontal mínima que assegura que a caixa comece a deslizar para cima do plano é P\approx 520{,}5\\ \mathrm{N} e a normal correspondente é N\approx 685{,}0\\ \mathrm{N}. Se você comparar com a “resp.” que veio junto ao enunciado, notei uma diferença numérica — provavelmente houve diferença no valor do coeficiente de atrito ou arredondamento usado por quem resolveu antes — mas o processo acima é o consistente fisicamente.

Resposta

N=685{,}0\\ \mathrm{N}
P=520{,}5\\ \mathrm{N}

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