Um estudo foi realizado com o objetivo de avaliar a conformidade das informações de rotulagem de produtos alimentícios comercializados por uma indústria de bebidas. Durante a inspeção, foram analisados 80 rótulos de produtos quanto à presença de informações obrigatórias exigidas pela legislação sanitária vigente. Ao final da avaliação, verificou-se que 18 rótulos apresentaram algum tipo de irregularidade, como ausência de informações nutricionais obrigatórias, erros na identificação de ingredientes ou uso de expressões que poderiam induzir o consumidor ao erro. Com base no texto, responda:
a) Qual é o evento de interesse?
b) Qual é o tamanho da amostra?
c) Qual é a proporção observada?
d) Defina uma variável aleatória X adequada ao problema e determine o modelo probabilístico correspondente.
e) Quais são os possíveis valores de X ?
f) Suponha que um supermercado adquira 40 produtos dessa indústria. Em média, quantos produtos com irregularidades na rotulagem seriam esperados? E com qual variabilidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
  • Foram inspecionados 80 rótulos de produtos.
  • Desses, 18 rótulos apresentaram irregularidades (ausência/erro/expressão enganosa).
    O enunciado pergunta:
    a) Qual é o evento de interesse?
    b) Qual é o tamanho da amostra?
    c) Qual é a proporção observada?
    d) Defina uma variável aleatória X adequada ao problema e determine o modelo probabilístico correspondente.
    e) Quais são os possíveis valores de X?
    f) Suponha que um supermercado adquira 40 produtos dessa indústria. Em média, quantos produtos com irregularidades seriam esperados? E com qual variabilidade?

Passo 2

Interpretando o dado bruto e calculando a proporção observada passo a passo.
  • A contagem de irregularidades é 18 em uma amostra de 80.
  • A proporção observada (estimador da proporção verdadeira) é a razão entre o número de sucessos e o tamanho da amostra.
\hat{p}=\frac{18}{80}.
  • Simplificando a fração:
\hat{p}=\frac{9}{40}=0,225.
Explanação rápida: \hat{p} é a estimativa pontual da probabilidade de um rótulo qualquer dessa indústria apresentar irregularidade, baseada na amostra.

Passo 3

Definição de variável indicadora para um único produto (conceito básico que clarifica o modelo).
  • Para modelar cada produto individualmente, é útil definir uma variável indicadora I\) (ou \(I_i\) para o \(i\)-ésimo produto): \[I=\begin{cases} 1, & \text{se o rótulo do produto tem irregularidade},\\[4pt] 0, & \text{se o rótulo está regular}. \end{cases}
  • A distribuição natural para I\] é a Bernoulli com parâmetro \(p, onde p é a probabilidade (desconhecida) de irregularidade em um produto escolhido ao acaso.
A função massa de probabilidade (pmf) da Bernoulli é:
P(I=i)=p^{i}(1-p)^{1-i},\qquad i\in\{0,1\}.
Onde p representa a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = presença de irregularidade).]

Passo 4

Definição da variável aleatória X para a amostra e escolha do modelo (Binomial).
  • Como inspecionamos 80 rótulos e contamos quantos apresentam irregularidade, a variável natural é:
X=\text{número de rótulos com irregularidade entre os }80\text{ inspecionados.}úó
  • Sob as hipóteses usuais (cada rótulo é uma tentativa independente, com mesma probabilidade p de irregularidade), X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n=80 e p:
X\sim\mathrm{Bin}\bigl(n=80,\;p\bigr).
  • A pmf da Binomial é:
P(X=k)=\binom{80}{k}p^{k}(1-p)^{80-k},\qquad k\in\{0,1,\dots,80\}.
Justificativa didática: a Binomial modela o número de sucessos em n tentativas independentes e identicamente distribuídas, cada uma com probabilidade p de sucesso — exatamente o caso de contar rótulos irregulares numa amostra fixa.

Passo 5

Quais são os possíveis valores de X.
  • Como X conta quantos rótulos, seus valores possíveis são todos os inteiros de 0 até 80:
X\in\{0,1,2,\dots,80\}.

Passo 6

Usando a proporção observada como estimativa de p (regra prática em inferência), preparar para a pergunta do supermercado.
  • A proporção observada foi \hat{p}=0,225. Usaremos \hat{p} como estimativa pontual de p para prever no caso de n=40 produtos adquiridos pelo supermercado.
  • Para uma Binomial com parâmetros n e p, as fórmulas conhecidas (e muito úteis na prova) são:
\text{Esperança: }E[X]=n p,ç
\text{Variância: }\operatorname{Var}(X)=n p(1-p),â
\text{Desvio padrão: }\sigma_X=\sqrt{n p(1-p)}.ã
Explicação curta: a esperança E[X] é o número médio esperado de sucessos; a variância mede a dispersão em torno dessa média e cresce com n.

Passo 7

Cálculo numérico para n=40 usando \hat{p}=0,225.
  • Esperança (média esperada):
E[X]=n\hat{p}=40\cdot 0,225=9,0.
Interpretação: em média espera-se encontrar 9 produtos com irregularidade entre 40 adquiridos.
  • Variância:
\operatorname{Var}(X)=40\cdot 0,225\cdot(1-0,225)=40\cdot 0,225\cdot 0,775.
Calculemos passo a passo:
0,225\cdot 0,775=0,174375,
\operatorname{Var}(X)=40\cdot 0,174375=6,975.
  • Desvio padrão (medida de dispersão em unidades de produtos):
\sigma_X=\sqrt{6,975}\approx 2,642.
Interpretação: além da média 9, é razoável esperar flutuações na ordem de \approx 2,64 produtos para cima ou para baixo.

Resposta

a) O evento de interesse é: “um rótulo apresentar alguma irregularidade na rotulagem (ausência/erro/expressão enganosa)”.
b) O tamanho da amostra é: 80.
c) A proporção observada é: \hat{p}=\dfrac{18}{80}=\dfrac{9}{40}=0,225.
d) Uma variável aleatória adequada é X= número de rótulos com irregularidade entre os 80 inspecionados, com modelo probabilístico \;X\sim\mathrm{Bin}(n=80,p).
e) Os possíveis valores de X são: \;X\in\{0,1,2,\dots,80\}.
f) Para 40 produtos e usando \hat{p}=0,225 como estimativa de p:
Esperança (média) =E[X]=40\cdot 0,225=9,0.
Variabilidade (variância) \operatorname{Var}(X)=40\cdot 0,225\cdot(1-0,225)=6,975 (desvio padrão \approx 2,642).

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