Um estudo foi realizado com o objetivo de avaliar a conformidade das informações de rotulagem de produtos alimentícios comercializados por uma indústria de bebidas. Durante a inspeção, foram analisados 80 rótulos de produtos quanto à presença de informações obrigatórias exigidas pela legislação sanitária vigente. Ao final da avaliação, verificou-se que 18 rótulos apresentaram algum tipo de irregularidade, como ausência de informações nutricionais obrigatórias, erros na identificação de ingredientes ou uso de expressões que poderiam induzir o consumidor ao erro. Com base no texto, responda:
a) Qual é o evento de interesse?
b) Qual é o tamanho da amostra?
c) Qual é a proporção observada?
d) Defina uma variável aleatória
adequada ao problema e determine o modelo probabilístico correspondente.
e) Quais são os possíveis valores de
?
f) Suponha que um supermercado adquira 40 produtos dessa indústria. Em média, quantos produtos com irregularidades na rotulagem seriam esperados? E com qual variabilidade?
a) Qual é o evento de interesse?
b) Qual é o tamanho da amostra?
c) Qual é a proporção observada?
d) Defina uma variável aleatória
e) Quais são os possíveis valores de
f) Suponha que um supermercado adquira 40 produtos dessa indústria. Em média, quantos produtos com irregularidades na rotulagem seriam esperados? E com qual variabilidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
- Foram inspecionados
rótulos de produtos. - Desses,
rótulos apresentaram irregularidades (ausência/erro/expressão enganosa).
O enunciado pergunta:
a) Qual é o evento de interesse?
b) Qual é o tamanho da amostra?
c) Qual é a proporção observada?
d) Defina uma variável aleatóriaadequada ao problema e determine o modelo probabilístico correspondente.
e) Quais são os possíveis valores de?
f) Suponha que um supermercado adquiraprodutos dessa indústria. Em média, quantos produtos com irregularidades seriam esperados? E com qual variabilidade?
Passo 2
Interpretando o dado bruto e calculando a proporção observada passo a passo.
- A contagem de irregularidades é
em uma amostra de . - A proporção observada (estimador da proporção verdadeira) é a razão entre o número de sucessos e o tamanho da amostra.
- Simplificando a fração:
Explanação rápida:
é a estimativa pontual da probabilidade de um rótulo qualquer dessa indústria apresentar irregularidade, baseada na amostra.
Passo 3
Definição de variável indicadora para um único produto (conceito básico que clarifica o modelo).
- Para modelar cada produto individualmente, é útil definir uma variável indicadora
- A distribuição natural para
, onde
é a probabilidade (desconhecida) de irregularidade em um produto escolhido ao acaso.
A função massa de probabilidade (pmf) da Bernoulli é:
Onde
representa a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = presença de irregularidade).]
Passo 4
Definição da variável aleatória
para a amostra e escolha do modelo (Binomial).
- Como inspecionamos
rótulos e contamos quantos apresentam irregularidade, a variável natural é:
- Sob as hipóteses usuais (cada rótulo é uma tentativa independente, com mesma probabilidade
de irregularidade), segue uma distribuição Binomial com parâmetros e :
- A pmf da Binomial é:
Justificativa didática: a Binomial modela o número de sucessos em
tentativas independentes e identicamente distribuídas, cada uma com probabilidade
de sucesso — exatamente o caso de contar rótulos irregulares numa amostra fixa.
Passo 5
Quais são os possíveis valores de
.
- Como
conta quantos rótulos, seus valores possíveis são todos os inteiros de até :
Passo 6
Usando a proporção observada como estimativa de
(regra prática em inferência), preparar para a pergunta do supermercado.
- A proporção observada foi
. Usaremos como estimativa pontual de para prever no caso de produtos adquiridos pelo supermercado. - Para uma Binomial com parâmetros
e , as fórmulas conhecidas (e muito úteis na prova) são:
Explicação curta: a esperança
é o número médio esperado de sucessos; a variância mede a dispersão em torno dessa média e cresce com
.
Passo 7
Cálculo numérico para
usando
.
- Esperança (média esperada):
Interpretação: em média espera-se encontrar
produtos com irregularidade entre
adquiridos.
- Variância:
Calculemos passo a passo:
- Desvio padrão (medida de dispersão em unidades de produtos):
Interpretação: além da média
, é razoável esperar flutuações na ordem de
produtos para cima ou para baixo.
Resposta
a) O evento de interesse é:
“um rótulo apresentar alguma irregularidade na rotulagem (ausência/erro/expressão enganosa)”.
b) O tamanho da amostra é: .
c) A proporção observada é: .
d) Uma variável aleatória adequada é número de rótulos com irregularidade entre os
inspecionados, com modelo probabilístico
.
e) Os possíveis valores de são:
f) Para produtos e usando
como estimativa de
:
Esperança (média) .
Variabilidade (variância) (desvio padrão
).
b) O tamanho da amostra é:
c) A proporção observada é:
d) Uma variável aleatória adequada é
e) Os possíveis valores de
f) Para
Esperança (média)
Variabilidade (variância)