Um estudo sobre o tempo que um administrador leva para ser promovido em empresas de grande porte mostrou que o tempo distribui-se normalmente com média 2,20 anos e desvio padrão de 0,20 anos. Selecionado um administrador ingressante em uma dessas empresas, qual a probabilidade dele ser promovido:
após 2,30 anos?

Passo 1

O enunciado fornece que o tempo até a promoção segue uma distribuição normal com média \mu=2,20 anos e desvio padrão \sigma=0,20 anos. A pergunta é: qual a probabilidade de um administrador selecionado ser promovido depois de 2,30 anos? Em linguagem de probabilidade: calcular P(X>2,30), onde X é o tempo até a promoção.

Passo 2

Conceito útil e estratégia (aula rápida):
  • Quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^{2}). Aqui \mu é o valor médio (centro) e \sigma mede a dispersão típica em torno de \mu.
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X>a) usamos a padronização, que transforma X em uma variável normal padrão Z\sim N(0,1). A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Após padronizar, consultamos a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Então P(X>a)=P\!\left(Z>\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right).
    Isso é prático na prova: transforma qualquer normal em uma única tabela/curva que todos conhecem.

Passo 3

Aplicando a padronização ao ponto a=2,30:
z=\frac{2,30-2,20}{0,20}.
Faço as contas passo a passo:
2,30-2,20=0,10,
\frac{0,10}{0,20}=0,5.
Portanto o valor padronizado é z=0,5.

Passo 4

Usando esse z para a probabilidade pedida:
P(X>2,30)=P(Z>0,5)=1-\Phi(0,5).
Aqui \Phi(0,5) é a probabilidade acumulada até 0,5 na normal padrão. Em tabelas de normal ou calculadora, encontra-se \Phi(0,5)\approx0,6915 (valor comum em tabelas; mais preciso: \Phi(0,5)\approx0,691462\ldots).

Passo 5

Calculo final:
P(X>2,30)=1-0,6915=0,3085.
Em porcentagem isso é cerca de 30,85\%. Em prova, se só tiver tabela de \Phi e vier com z negativo, lembre-se da simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z). Aqui foi direto porque z é positivo.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: a chance de a promoção demorar mais que 2,30 anos é cerca de 30{,}85\%. Na prova escreva os passos de padronização explicitamente e, se usar tabela, indique o valor \Phi(0,5) que consultou.

Resposta

0,3085 (aproximadamente 30,85\%)

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