Um estudo sobre o tempo que um administrador leva para ser promovido em empresas de grande porte mostrou que o tempo distribui-se normalmente com média 2,20 anos e desvio padrão de 0,20 anos. Selecionado um administrador ingressante em uma dessas empresas, qual a probabilidade dele ser promovido:
em até 2,15 anos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que queremos:
  • A variável tempo até promoção, que vou chamar de X, é normalmente distribuída com média \mu=2,20 anos e desvio padrão \sigma=0,20 anos.
  • A pergunta é: qual a probabilidade do administrador ser promovido em até 2,15 anos? Ou seja, precisamos calcular \mathbb{P}(X \le 2,15).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e sem pressa):
  • Quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^{2}).
  • Para calcular probabilidades do tipo \mathbb{P}(X \le x_{0}) transformamos X numa variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. Isso facilita porque existe uma tabela (ou função) universal para Z.
  • A padronização (ou normalização) é feita pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (tempo até promoção),
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z tem distribuição N(0,1).
  • Depois de achar z correspondente a x_{0}, usamos a função distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) para obter a probabilidade.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: queremos \mathbb{P}(X\le 2,15). Usamos a padronização com \mu=2,20 e \sigma=0,20:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-2,20}{0,20}.
Para x_{0}=2,15 o valor de z é
z=\frac{2,15-2,20}{0,20}.

Passo 4

Calculemos o z passo a passo (mostrando a conta para você poder reproduzir na prova sem erro):
2,15-2,20=-0,05.
z=\frac{-0,05}{0,20}=-0,25.
Ou seja, \displaystyle z=-0,25.

Passo 5

Agora interpretamos esse z com a normal padrão. Queremos
\mathbb{P}(X\le 2,15)=\mathbb{P}\!\left(Z\le -0,25\right)=\Phi(-0,25).
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Assim,
\Phi(-0,25)=1-\Phi(0,25).
Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor usual é \Phi(0,25)\approx 0,5987. Portanto
\Phi(-0,25)\approx 1-0,5987=0,4013.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • A probabilidade de ser promovido em até 2,15 anos é aproximadamente 0,4013, ou seja cerca de 40{,}13\%.
  • Na prova: padronize sempre com \dfrac{x_{0}-\mu}{\sigma}, calcule o z com calma (preste atenção ao sinal), e depois use a tabela da normal padrão. Se a tabela der apenas valores para z\ge 0, use a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) como fizemos aqui.

Resposta

\,0,4013 (aproximadamente 40{,}13\%)

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