No estudo de viabilidade do dimensionamento de um conduto de drenagem urbana construído em manilha de concreto (n=0,013) com 0,5 metros de diâmetro e declividade 1 / 100 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. Determine as vazões referentes as profundidades de escoamento de \frac{3}{4} e \frac{1}{2} do diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as vazões (Q) em um conduto circular de concreto com os seguintes dados:
  • rugosidade de Manning: n=0,013;
  • diâmetro: D=0,50\\ \mathrm{m};
  • declividade: 1/100, isto é, S=0,01.
    As profundidades de escoamento solicitadas são y/D=\tfrac{3}{4} e y/D=\tfrac{1}{2}.
Informações fornecidas que vou usar (peguei tudo do enunciado):
  • n=0,013.
  • D=0,50\\ \mathrm{m}.
  • S=0,01.
  • Dois casos de profundidade: y=\tfrac{3}{4}D e y=\tfrac{1}{2}D.
O objetivo é calcular, para cada caso, a área molhada A, o perímetro molhado P, o raio hidráulico R=\dfrac{A}{P}, a velocidade média V pela fórmula de Manning e finalmente a vazão Q=A\cdot V.

Passo 2

Fórmula de Manning (explicação e sentido físico)
V=\dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}.
  • V é a velocidade média do escoamento (m/s).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • R é o raio hidráulico (m), definido por R=\dfrac{A}{P}.
  • S é a declividade do conduto (adimensional), aqui S=0,01.
A vazão é
Q=A\cdot V.

Passo 3

Geometria do segmento circular parcialmente cheio (fórmulas e explicação)
  • Raio da tubulação: r=\dfrac{D}{2}.
  • Para uma profundidade y (medida a partir do fundo do tubo), a meia‑abertura do setor central é
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{r-y}{r}\right),
e o ângulo central correspondente ao trecho molhado é
\theta=2\alpha=2\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{r-y}{r}\right),
com \theta em radianos.
  • Área do segmento molhado:
A=\dfrac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).
  • Perímetro molhado (somente a parte em contato com a água, arco):
P=r\theta.
  • Raio hidráulico:
R=\dfrac{A}{P}.
Observação didática: essas fórmulas vêm da geometria da área de um segmento circular. A relação entre y e \theta usa a posição da superfície de água relativamente ao centro do círculo.

Passo 4

Valores numéricos básicos que usarei:
r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0,50}{2}=0,25\\ \mathrm{m},\qquad S=0,01,\qquad n=0,013.

Passo 5

Cálculo para y/D=\tfrac{3}{4}.
  1. Profundidade:
y=\tfrac{3}{4}D=\tfrac{3}{4}\cdot 0,50=0,375\\ \mathrm{m}.
  1. Compute \dfrac{r-y}{r}:
\dfrac{r-y}{r}=\dfrac{0,25-0,375}{0,25}=\dfrac{-0,125}{0,25}=-0,5.
  1. Ângulo central:
\alpha=\operatorname{arccos}(-0,5)=\tfrac{2\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad \theta=2\alpha=\tfrac{4\pi}{3}.
(Explicação rápida: \operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{2\pi}{3}.)
  1. Área molhada usando a fórmula do segmento:
A=\dfrac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).
Substituindo r=0,25 e \theta=\tfrac{4\pi}{3}. Note que \sin\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
A=\dfrac{0,25^{2}}{2}\!\left(\tfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) =\dfrac{0,0625}{2}\!\left(\tfrac{4\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Agora calculando numericamente:
\dfrac{0,0625}{2}=0,03125,
\tfrac{4\pi}{3}\approx 4,188790205,\qquad \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025404,
\theta-\sin\theta\approx 4,188790205+0,866025404=5,054815609,
A\approx 0,03125\cdot 5,054815609\approx 0,157963\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Perímetro molhado:
P=r\theta=0,25\cdot \tfrac{4\pi}{3}=0,25\cdot 4,188790205\approx 1,047198\\ \mathrm{m}.
  1. Raio hidráulico:
R=\dfrac{A}{P}\approx \dfrac{0,157963}{1,047198}\approx 0,150800\\ \mathrm{m}.
  1. Termo R^{2/3} e velocidade V:
R^{2/3}\approx (0,150800)^{2/3}\approx 0,28352.
V=\dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}=\dfrac{1}{0,013}\cdot 0,28352\cdot \sqrt{0,01} =76,92308\cdot 0,28352\cdot 0,1\approx 2,18\\ \mathrm{m/s}.
  1. Vazão:
Q=A\cdot V\approx 0,157963\cdot 2,18\approx 0,345\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 6

Cálculo para y/D=\tfrac{1}{2} (meia altura, superfície pelo centro).
  1. Profundidade:
y=\tfrac{1}{2}D=\tfrac{1}{2}\cdot 0,50=0,25\\ \mathrm{m}.
  1. Relação com o centro:
r-y=0{,}25-0{,}25=0\quad\Rightarrow\quad \dfrac{r-y}{r}=0.
  1. Ângulo central:
\alpha=\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=2\alpha=\pi.
  1. Área molhada (semicírculo):
A=\dfrac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) =\dfrac{0,25^{2}}{2}\bigl(\pi-0\bigr)=0,03125\pi\approx 0,098175\\ \mathrm{m^{2}}.
(Observação: isso é exatamente a metade da área total do círculo.)
  1. Perímetro molhado:
P=r\theta=0,25\cdot \pi\approx 0,785398\\ \mathrm{m}.
  1. Raio hidráulico:
R=\dfrac{A}{P}\approx \dfrac{0,098175}{0,785398}=0,125\\ \mathrm{m}.
(Observação exata: para semicírculo R=\dfrac{r}{2}=0,125\\ \mathrm{m}.)
  1. Termo R^{2/3} e velocidade V:
R^{2/3}=(0,125)^{2/3}=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2/3}=\dfrac{1}{4}=0,25.
V=\dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}=\dfrac{1}{0,013}\cdot 0,25\cdot 0,1 =76,92308\cdot 0,025\approx 1,92308\\ \mathrm{m/s}.
  1. Vazão:
Q=A\cdot V\approx 0,098175\cdot 1,92308\approx 0,189\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Resposta

Q_{\,y/D=3/4}\approx 0,345\\ \mathrm{m^{3}/s}
Q_{\,y/D=1/2}\approx 0,189\\ \mathrm{m^{3}/s}

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