Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando uma expressão em termos de convolução. Dados do problema:
- Equação:
- Condições iniciais:
O objetivo final é escrever
em função de uma convolução envolvendo
. Nada mais foi dado sobre
, então a solução ficará em forma convolucional (válida para
).
Passo 2
Vou usar transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios de
multiplicando a transformada da função, e a parte correspondente ao forçante aparece multiplicada por uma função de
que, ao inverso, vira a convolução. Relembre rapidamente as fórmulas principais (para funções causais e
):
- Definição:
- Transformadas de derivadas (aqui
):
Essas fórmulas são fundamentais porque incorporam as condições iniciais diretamente no domínio de
. Outra propriedade útil:
, onde
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace na equação inteira. Denotando
e
,
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Agora coloco os valores iniciais
e
:
Agrupando os termos com
e os demais:
Isolando
:
Passo 4
Observe o denominador:
. Isto nos dá dois insights:
- A função de transferência (ou função resposta ao impulso) é
- Sabendo que
, obtemos a resposta ao impulso no tempo
Portanto a segunda parcela em
,
, corresponde no tempo à convolução
.
Passo 5
Agora trato a primeira parcela
, que é a contribuição das condições iniciais (resposta livre). Faço decomposição simples em termos de
e
. Procuro
e
tais que
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes:
e
. Logo
Invertendo a Laplace:
Somando, a contribuição das condições iniciais no tempo é
Passo 6
Juntando tudo: a solução total é a soma da resposta devido às condições iniciais e da resposta forçada dada pela convolução do impulso
com
. Em fórmulas:
Essa expressão é a forma final pedida: o segundo termo é uma convolução que incorpora qualquer forçante
, e o primeiro termo satisfaz as condições iniciais.