Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=g(t) ; y(0)=2, y^{\prime}(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando uma expressão em termos de convolução. Dados do problema:
  • Equação: y''+4y'+4y=g(t).
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=-3.
O objetivo final é escrever y(t) em função de uma convolução envolvendo g(t). Nada mais foi dado sobre g(t), então a solução ficará em forma convolucional (válida para t\ge0).

Passo 2

Vou usar transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios de s multiplicando a transformada da função, e a parte correspondente ao forçante aparece multiplicada por uma função de s que, ao inverso, vira a convolução. Relembre rapidamente as fórmulas principais (para funções causais e t\ge0):
  • Definição: \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Transformadas de derivadas (aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas são fundamentais porque incorporam as condições iniciais diretamente no domínio de s. Outra propriedade útil: \mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s), onde (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace na equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=G(s).
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)+4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+4Y(s)=G(s).
Agora coloco os valores iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s+3\bigr)+4\bigl(sY(s)-2\bigr)+4Y(s)=G(s).
Agrupando os termos com Y(s) e os demais:
\bigl(s^{2}+4s+4\bigr)Y(s)-2s-5=G(s).
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2s+5}{s^{2}+4s+4}+\frac{G(s)}{s^{2}+4s+4}.

Passo 4

Observe o denominador: s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}. Isto nos dá dois insights:
  1. A função de transferência (ou função resposta ao impulso) é
H(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}.
  1. Sabendo que \mathcal{L}\{t e^{-at}\}=\dfrac{1}{(s+a)^{2}}, obtemos a resposta ao impulso no tempo
h(t)=t e^{-2t}\quad (t\ge0).
Portanto a segunda parcela em Y(s), \dfrac{G(s)}{(s+2)^{2}}=H(s)G(s), corresponde no tempo à convolução h*g.

Passo 5

Agora trato a primeira parcela \dfrac{2s+5}{(s+2)^{2}}, que é a contribuição das condições iniciais (resposta livre). Faço decomposição simples em termos de (s+2) e (s+2)^{2}. Procuro A e B tais que
\frac{2s+5}{(s+2)^{2}}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^{2}}.
Multiplicando por (s+2)^{2}:
2s+5=A(s+2)+B=As+2A+B.
Comparando coeficientes: A=2 e 2A+B=5\Rightarrow 4+B=5\Rightarrow B=1. Logo
\frac{2s+5}{(s+2)^{2}}=\frac{2}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Invertendo a Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s+2}\right\}=2e^{-2t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\right\}=t e^{-2t}.
Somando, a contribuição das condições iniciais no tempo é
y_{\text{IC}}(t)=(2+t)e^{-2t}.

Passo 6

Juntando tudo: a solução total é a soma da resposta devido às condições iniciais e da resposta forçada dada pela convolução do impulso h(t)=t e^{-2t} com g(t). Em fórmulas:
y(t)=y_{\text{IC}}(t)+(h*g)(t)=(2+t)e^{-2t}+\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau,\qquad t\ge0.
Essa expressão é a forma final pedida: o segundo termo é uma convolução que incorpora qualquer forçante g(t), e o primeiro termo satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=(2+t)e^{-2t}+\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau.
\text{Equivalente: }y(t)=(2+t)e^{-2t}+(h*g)(t),\quad h(t)=t e^{-2t}\\ (t\ge0).

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