Em estudos do tempo até a ocorrência de um evento (muitas vezes uma falha) a taxa de ocorrência do evento (também chamada de taxa de falhas) é muito importante na modelagem. Se X é uma va com densidade f(x), então, sua taxa de falhas é definida por: h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}.
Se X tem distribuição exponencial( \lambda ), como no exercício (28), mostre que sua taxa de falhas é constante igual ao parâmetro \lambda.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X tem distribuição exponencial de parâmetro \lambda, então a taxa de falhas
h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}
é constante igual a \lambda. Aqui o conteúdo é a definição de função de densidade f, função de distribuição acumulada F e a fórmula da taxa de falhas.

Passo 2

Para X\sim\mathrm{Exp}(\lambda) temos, para x\ge0:
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},
F(x)=1-e^{-\lambda x}.
Ou seja, a probabilidade de sobreviver até x é
1-F(x)=e^{-\lambda x}.

Passo 3

Substituímos na definição de taxa de falhas:
h(x) =\frac{f(x)}{1-F(x)} =\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}.

Passo 4

Observando que o fator e^{-\lambda x} cancela, obtemos
h(x)=\lambda.
Isso mostra que a taxa de falhas não depende de x.

Resposta

A taxa de falhas de X\sim\mathrm{Exp}(\lambda) é constante e igual a \lambda.

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