Considere uma va X com distribuição gama, cuja função densidade é dada por:
f(x)=\frac{k^{a}}{\Gamma(a)} x^{a-1} \mathrm{e}^{-k x}, \quad x>0 \quad a>0 \quad \text { e } \quad k>0
em que \Gamma(a)=\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \mathrm{e}^{-x} d x é a função gama de a.
Mostre que E(X)=\int_{0}^{\infty} x f(x) d x=\frac{a}{k}.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição Gama com parâmetros a>0 e k>0, de densidade
f(x)=\frac{k^{a}}{\Gamma(a)}\,x^{a-1}e^{-k x},\quad x>0.
Queremos mostrar que
E(X)=\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx=\frac{a}{k}.
Para isso vamos usar a definição de esperança e a propriedade \Gamma(a+1)=a\,\Gamma(a).

Passo 2

Escrevendo a esperança pela definição, temos
E(X)=\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\frac{k^{a}}{\Gamma(a)}\int_{0}^{\infty}x^{a}\,e^{-k x}\,dx.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{a}e^{-k x}dx, façamos a mudança de variável t=kx. Então x=t/k e dx=dt/k, e
\int_{0}^{\infty}x^{a}e^{-k x}dx =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{k}\Bigr)^{a}e^{-t}\,\frac{dt}{k} =k^{-a-1}\int_{0}^{\infty}t^{a}e^{-t}dt =k^{-a-1}\,\Gamma(a+1).
Substituindo em E(X) vem
E(X) =\frac{k^{a}}{\Gamma(a)}\;k^{-a-1}\,\Gamma(a+1).

Passo 4

Como \Gamma(a+1)=a\,\Gamma(a), obtemos
E(X) =\frac{k^{a}k^{-a-1}\,a\,\Gamma(a)}{\Gamma(a)} =\frac{a}{k}.

Resposta

\displaystyle E(X)=\frac{a}{k}.

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