Uma etapa de um dado processo que funciona em estado estacionário mistura correntes de salmoura com vazões de 10 e 15 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min}, com concentrações de sal de 10 e 17 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3}, respectivamente. Calcule a concentração de sal (em g/L) na corrente de saída, admitindo-se densidade constante. (R. 227,6 \mathrm{~g} / \mathrm{L})

Passo 1

O enunciado dá uma etapa de mistura em estado estacionário que combina duas correntes de salmoura. As informações fornecidas são:
q_1 = 10\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min},\quad C_1 = 10\\ \mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3
q_2 = 15\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min},\quad C_2 = 17\\ \mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3
Pede-se a concentração de sal na corrente de saída, em \mathrm{g}/\mathrm{L}. O problema diz para admitir densidade constante e que o processo está em estado estacionário (ou seja, sem acumulação).

Passo 2

Entendendo o princípio: em mistura em regime estacionário a massa de sal que sai por unidade de tempo é a soma das massas de sal que entram por unidade de tempo. Vamos definir:
q_i = \text{vazão volumétrica da corrente }i\\ (\mathrm{ft}^3/\mathrm{min})ãé
C_i = \text{concentração de sal da corrente }i\\ (\mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3)çã
A taxa de massa de sal da corrente i é \dot m_i = q_i C_i (unidade \mathrm{lb_m}/\mathrm{min}). A taxa total de sal entrada é
\dot m_{\text{in}} = q_1 C_1 + q_2 C_2.
Se q_{\text{out}}=q_1+q_2 é a vazão de saída e C_{\text{out}} a concentração de saída, então
\dot m_{\text{out}} = q_{\text{out}} C_{\text{out}}.
Pelo balanço de massa de sal (estado estacionário, sem acumulação):
q_{\text{out}} C_{\text{out}} = q_1 C_1 + q_2 C_2.
Despejando C_{\text{out}}:
C_{\text{out}} = \frac{q_1 C_1 + q_2 C_2}{q_1 + q_2}.

Passo 3

Agora substituímos os números (tudo em unidades consistentes \mathrm{ft}^3 e \mathrm{lb_m}):
C_{\text{out}} = \frac{10\cdot 10 + 15\cdot 17}{10+15} = \frac{100 + 255}{25} = \frac{355}{25} = 14{,}2\\ \mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3.
Explicando: isso quer dizer que a mistura tem 14{,}2 libras-massa de sal por cada pé cúbico de solução.

Passo 4

Agora convertemos \mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3 para \mathrm{g}/\mathrm{L}. Usamos as conversões exatas/aceitas:
1\\ \mathrm{lb_m} = 453{,}59237\\ \mathrm{g},\qquad 1\\ \mathrm{ft}^3 = 28{,}316846592\\ \mathrm{L}.
Portanto
C_{\text{out}}(\mathrm{g}/\mathrm{L}) = 14{,}2\cdot\frac{453{,}59237\\ \mathrm{g}}{28{,}316846592\\ \mathrm{L}}.
Calculemos passo a passo:
14{,}2\times 453{,}59237 = 6\,441{,}011654\\ \mathrm{g}/\mathrm{ft}^3,
\frac{6\,441{,}011654}{28{,}316846592} \approx 227{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Interpretação rápida: convertendo a concentração obtida em \mathrm{lb_m}/\mathrm{ft}^3 para \mathrm{g}/\mathrm{L} obtemos cerca de 227{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Resposta

\;227{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

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