Éter isopropílico deve ser usado para extrair ácido acético de uma solução aquosa. Deve-se usar uma coluna de extração já existente e equivalente a 5 estágios de equilíbrio.
a) Determine a quantidade de solvente necessária para as seguintes condições Rafinado inicial - 1000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} - composição: 50% ácido acético, 40% água e 10% éter rafinado final com 5% de ácido acético
b) Qual é a recuperação de ácido acético?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei diretamente do enunciado):
    • Vazão do refinado inicial: F = 1000\\ \text{lb/h}.
    • Composição do refinado inicial (frações em massa): 50\% ácido acético, 40\% água, 10\% éter. Portanto a fração de ácido no refinado é x_F = 0{,}50.
    • O objetivo é obter um refinado final com 5\% de ácido acético, ou seja x_R = 0{,}05.
    • A coluna existente é equivalente a N = 5 estágios de equilíbrio.
    • O solvente de extração será éter isopropílico (entra como solvente fresco, sem ácido dissolvido).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a quantidade de solvente necessária (vazão S, em lb/h) para, com N=5 estágios, levar a fração de ácido de x_F=0{,}50 para x_R=0{,}05.
    (b) Determinar a recuperação de ácido acético.
Observação importante (usarei isso na resolução): o refinado inicial já contém 10\% de éter, ou seja há 0{,}10\cdot1000 = 100\\ \text{lb/h} de éter vindo com o feed. Vou mostrar a solução geral e depois como esse éter no feed altera a necessidade de solvente fresco.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular passos).
  1. Distribuição (coeficiente de partição) e hipótese de equilíbrio constante:
  • Em extração líquido–líquido assume-se muitas vezes que, em equilíbrio, a fração em massa do soluto na fase orgânica y é proporcional à fração em massa do soluto na fase aquosa x: y = m\,x,onde m é o coeficiente de distribuição (ou razão de partição) do ácido entre a fase orgânica e a fase aquosa. Aqui m é adimensional e, simplificando, considera-se constante ao longo das concentrações de interesse.
  1. Processo por estágios em contra-corrente (modelo de estágios teóricos):
  • Para um único estágio, com fluxo aquoso F entrando com concentração x_1, solvente fresco S entrando com concentração de soluto 0 (assumindo solvente puro), e supondo que no estágio a fase orgânica e aquosa saiam em equilíbrio, a concentração aquosa na saída x_2 satisfaz o balanço de soluto: F x_1 + S\cdot 0 = F x_2 + S y_1,com y_1 = m x_2. Assim: F x_1 = F x_2 + S m x_2 = x_2 (F + S m).Daí x_2 = \frac{F}{F + S m}\, x_1 = \frac{x_1}{1 + \dfrac{S m}{F}}.Este é o fator de redução de concentração num estágio.
  1. Generalizando para N estágios ideais em contra-corrente com solvente fresco:
  • Aplicando recursivamente o fator por N estágios obtemos x_R \equiv x_{N+1} = x_F\left(\frac{F}{F + S m}\right)^{N}.Esta fórmula é muito útil: relaciona a concentração final x_R com a inicial x_F, o número de estágios N, as vazões F e S e o coeficiente m.

Passo 3

Isolar S na expressão para calcular a vazão de solvente necessária.
Partimos de
x_R = x_F\left(\frac{F}{F + S m}\right)^{N}.
Tomando a enésima raiz:
\left(\frac{x_R}{x_F}\right)^{1/N} = \frac{F}{F + S m}.
Rearranjando:
F + S m = F\left(\frac{x_F}{x_R}\right)^{1/N}.
Logo
S = \frac{F}{m}\left[\left(\frac{x_F}{x_R}\right)^{1/N} - 1\right].
Esta é a fórmula que usaremos. Note que depende de m. Sem um valor numérico de m só podemos dar S em função de m. Também é útil lembrar que a recuperação (fração do soluto extraído) para este balanço é
\text{recuperação} = 1 - \frac{\text{ácido no refinado final}}{\text{ácido no refinado inicial}} = 1 - \frac{x_R}{x_F},çãáá
porque os fluxos de fase aquosa foram considerados constantes F (assim as massas relativas cancelam).

Passo 4

Aplicando os números do problema de forma simbólica primeiro:
  • F = 1000\\ \text{lb/h}.
  • x_F = 0{,}50.
  • x_R = 0{,}05.
  • N = 5.
Calcule o fator \left(\dfrac{x_F}{x_R}\right)^{1/N}:
\left(\frac{x_F}{x_R}\right)^{1/N} = \left(\frac{0{,}50}{0{,}05}\right)^{1/5} = \left(10\right)^{1/5} \approx 1{,}584893.
Substituindo na expressão para S:
S = \frac{1000}{m}\left(1{,}584893 - 1\right) = \frac{1000}{m}\cdot 0{,}584893 \approx \frac{584{,}893}{m}\\ \text{lb/h}.
Portanto o valor numérico de S depende do coeficiente de distribuição m. Como o enunciado não forneceu m, apresento um cálculo com um valor típico e dois exemplos para sensibilidade (isso ajuda na prova: sabes a fórmula e vês como a escolha de m muda a resposta).
Observação sobre o éter já presente no refinado inicial: o feed traz 0{,}10\cdot1000 = 100\\ \text{lb/h} de éter. Esse éter funciona como solvente que já está entrando com o feed; uma aproximação prática é descontar essa quantidade do solvente fresco necessário (ou seja, o solvente total necessário é S_{\text{total}} = S calculado acima, e a vazão de solvente fresco a adicionar é S_{\text{fresco}} = S - 100\\ \text{lb/h}, desde que S>100. Esta é uma aproximação padrão quando o solvente no feed está na forma de fase orgânica disponível para a extração; para exatidão completa seria necessário tratar os fluxos de fase separadamente, mas para provas é aceitável essa correção simples — vou aplicá-la a seguir).

Passo 5

Exemplos numéricos (valores de m de referência):
  • Se m = 2 (valor típico assumido para muitas combinações ácido orgânico/éter):
    S = \frac{584{,}893}{2} \approx 292{,}45\\ \text{lb/h}\quad(\text{solvente total necessário}).á
    Subtraindo o éter que já vem no feed ( 100\\ \text{lb/h}), a vazão de solvente fresco a adicionar seria
    S_{\text{fresco}} \approx 292{,}45 - 100 = 192{,}45\\ \text{lb/h}.
  • Se m = 1 (distribuição menos favorável ao orgânico):
    S \approx 584{,}89\\ \text{lb/h},\qquad S_{\text{fresco}} \approx 584{,}89 - 100 = 484{,}89\\ \text{lb/h}.
  • Se m = 3 (distribuição mais favorável ao orgânico):
    S \approx \frac{584{,}893}{3} \approx 194{,}97\\ \text{lb/h},\qquad S_{\text{fresco}} \approx 94{,}97\\ \text{lb/h}.
Esses exemplos mostram a sensibilidade: quanto maior m, menos solvente é necessário.

Passo 6

Cálculo da recuperação de ácido acético.
Como visto no Passo 3, a recuperação (fração extraída) é
\text{recuperação} = 1 - \frac{x_R}{x_F} = 1 - \frac{0{,}05}{0{,}50} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9.çã
Ou seja, a recuperação é 90\%. Note que esse valor não depende de m nem de S — ele depende somente dos valores de x_F e x_R uma vez que se consiga atingir x_R.

Passo 7

Resumo das hipóteses e recomendações (lembretes para a prova):
  • Hipóteses usadas:
    • Coeficiente de distribuição m constante (linearidade y=m x).
    • Estágios teóricos ideais e comportamento de contra-corrente.
    • Solvente fresco entra sem ácido.
    • Aproximação simples para descontar o éter que já está no feed: subtrai-se sua vazão do solvente fresco calculado.
  • Se tiveres na prova o valor experimental de m para o par ácido acético / éter isopropílico, substitui esse m na fórmula S = \frac{F}{m}\left[\left(\frac{x_F}{x_R}\right)^{1/N} - 1\right]e obténs S numérico imediatamente. Depois subtrai os 100\\ \text{lb/h} de éter já presentes no feed para achar o solvente fresco.
Força aí — se quiseres eu faço o cálculo com outro valor de m (por ex. se na tua apostila aparece o m exato) e te dou os números finais prontos pra colocar na prova.

Resposta

(a) S \approx \dfrac{584{,}893}{m}\\ \text{lb/h}.
Com um valor típico m=2: S \approx 292{,}45\\ \text{lb/h} (solvente total). Considerando os 100\\ \text{lb/h} de éter já no feed, o solvente fresco necessário fica S_{\text{fresco}}\approx 192{,}45\\ \text{lb/h}.
(b) Recuperação =90\%.

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